Процес формування математичної моделі для чисельного інтегрування обов'язково включає етап алгебраизации, який полягає в перетворенні звичайних диференціальних рівнянь в алгебраїчні. Він заснований на використанні одного з методів чисельного інтегрування.
Якщо задано диференціальне рівняння
і початкові умови, то чергове значення може бути отримано інтегруванням (3.1):
Певний інтеграл в (3.2) чисельно дорівнює площі під кривою на інтервалі (рис. 3.2).
Приблизно ця площа може бути обчислена як площа прямокутника, висота якого дорівнює значенню функції на лівій межі інтервалу або значенням на правій межі інтервалу. Очевидно, площі обох прямокутників, обмежених зверху відрізками 1 і 2 на рис. 3.3, будуть тим ближче до точного значення інтеграла, чим менше крок інтегрування.
Підставивши в (3.2) наближені значення інтеграла, можна отримати дві формули:
Вираз (3.3) являє собою формулу явного методу Ейлера. Називається метод явним тому, що невідоме значення може бути безпосередньо обчислено за відомим значенням в попередній точці.
Формула (3.4) відповідає неявному методу Ейлера. Тут в правій частині виразу використовується невідоме значення. тому обчислити його безпосередньо за цією формулою можна.
Більш точне значення інтеграла (3.2) дає метод трапецій, якому відповідав би відрізок 3 на рис. 3.3. тоді
Ця формула відноситься, очевидно, теж до неявним.
Для явних методів процедура формування моделі для чисельного інтегрування обмежується алгебраизации вихідних диференціальних рівнянь. Зокрема, формула (3.3) не вимагає подальших перетворень і готова для застосування.
Для неявних методів подальші дії залежать від того, який метод розв'язання системи нелінійних рівнянь реалізований в даному пакеті. Одним з варіантів може бути використання ітераційного методу Ньютона, який, як відомо, володіє найбільшою швидкістю збіжності серед практично застосовуваних методів, і в якому багато разів вирішується система лінеаризованих алгебраїчних рівнянь.
В цьому випадку реалізується другий етап підготовки математичних моделей для неявних методів, який полягає в лінеаризації нелінійних алгебраїчних рівнянь, тобто в розкладанні нелінійних функцій в ряд Тейлора і збереженні в результаті тільки лінійних членів.
Нехай задано нелінійне рівняння алгебри
де - вектор змінних.
Розкладання (3.6) в ряд Тейлора зі збереженням лише лінійних членів дає наближену заміну
де початкова наближення, в якості якого беруться значення змінних на попередньому кроці інтегрування;
- невідоме значення змінної на кроці інтегрування.
Вираз (3.7) може бути записано як лінійне рівняння алгебри
де - обчислюється для відомих значень змінних на попередньому кроці інтегрування;
Таким чином, процес чисельного моделювання в загальному випадку нелінійних систем неявними методами полягає в формуванні та вирішенні на кожному кроці інтегрування системи лінійних алгебраїчних рівнянь
яка включає компонентні і топологічні рівняння моделюється схеми. При цьому, процедурам алгебраизации і лінеаризації піддаються тільки компонентні рівняння, так як топологічні рівняння завжди лінійні алгебраїчні.
Розглянемо приклад пов'язаний з підготовкою моделі для чисельного рішення нелінійного диференціального рівняння другого порядку
Першим кроком є зведення даного рівняння до задачі Коші, тобто до системи рівнянь першого порядку за рахунок введення нової змінної:
Явні формули методу Ейлера мають вигляд
Неявні формули запишуться в такий спосіб:
Для переходу до матричної записи виконаємо ряд перетворень:
Матрична запис має вигляд
Формулу (3.7), взагалі кажучи, необхідно застосовувати ітераційно. Рішення цього рівняння, знайдене для заданого початкового наближення. слід використовувати в якості чергового наближення в (3.7) і повторювати формування і рішення лінійного алгебраїчного рівняння до тих пір, поки два послідовних наближення не стануть близькими із заданою точністю. При чисельному моделюванні можна обмежитися тільки однієї итерацией, вибираючи досить малий крок інтегрування і враховуючи, що при цьому значення змінних на попередньому кроці є досить хорошим наближенням.
3.2.3. Вибір між явними і неявними методами
в процедурах моделювання технічних систем
Вибір між явними і неявними методами представляє серйозну проблему. Багато фахівців вважають неявні методи більш потужним і універсальним інструментом для вирішення завдань моделювання технічних систем [23, 15]. Слід, однак, зауважити, що лише недавно з'явилися досить потужні й універсальні системи автоматизованого моделювання, такі, як, наприклад, MATLAB або МВТУ [17], що допускають вибір явного або неявного методу розв'язання задачі. Раніше використовувалися або явні, або неявні методи, так як це вимагало різних компонентних моделей.
В сучасних перспективних системах автоматизованого моделювання, придатних для моделювання технічних систем, застосовуються, як правило, неявні методи чисельного інтегрування. Неявні методи краще пристосовані для вирішення систем диференціальних і алгебраїчних рівнянь, до того ж вони більш стійкі. В результаті, не дивлячись на великі витрати машинного часу на кожному кроці інтегрування, пов'язані з необхідністю вирішення СЛАР, загальні витрати можуть бути значно менше за рахунок збільшення кроку інтегрування і зменшення загальної кількості кроків.
Розглянемо цю особливість неявних методів на прикладі явного і неявного методів Ейлера [21], що визначаються формулами (3.3) і (3.4), відповідно.
Застосуємо зазначені формули для чисельного інтегрування найпростішого лінійного диференціального рівняння
Характеристичне рівняння даної динамічної системи має вигляд
де - постійна часу системи.
Єдиний полюс системи знаходиться в лівій півплощині, отже, вихідна система стійка. Відповідно, будь-яке рішення рівняння, при. прямує до нуля.
Різницеве рівняння, відповідне чисельному рішенню явним методом Ейлера, запишеться як
Відомо, що умовою стійкості отриманого різницевого рівняння є
Це означає, що вибір може якісно змінити вид рішення, перетворивши стійкий процес в нестійкий.
Таким чином, на крок інтегрування накладено очевидне обмеження - він не може бути більше постійної часу системи, інакше дискретна апроксимація стане нестійкою. Якщо система має кілька постійних часу, то подібне обмеження пов'язує крок інтегрування з найменшою постійної часу.
Перехід до методів більш високого порядку мало змінює картину. Для методу Рунге - Кутта 4-го порядку вимога стійкості обмежує крок величиною. або, в більш загальному вигляді,. де - максимальне власне значення матриці Якобі [29].
Застосування неявного методу Ейлера до тієї ж системі дає
де обмеження на величину кроку виглядає по-іншому:
що дозволяє вибрати крок будь-якої величини, орієнтуючись тільки на необхідний рівень похибки.