Визначення та властивості матричної експоненти
Розглянемо квадратну матрицю \ (A \) розміром \ (n \ times n, \) елементи якої можуть бути як дійсними, так і комплексними числами. Оскільки матриця \ (A \) квадратна, то для неї визначена операція піднесення до степеня, тобто ми можемо обчислити матриці \ [= I, \; \; = A,> \; \; = A \ cdot A,> \; \; = \ Cdot A, \; \ Ldots,> \; = \ Underbrace _ \ text,> \] де через \ (I \) позначена одинична матриця порядку \ (n. \)
Складемо нескінченний матричний статечної ряд \ [I + \ frac> A + \ frac >>> + \ frac >>> + \ cdots + \ frac >>> + \ cdots \] Сума даного нескінченної низки називається матричної експонентою і позначається як \ (>: \) \ [> = \ sum \ limits _ ^ \ infty >>>>. \] Цей ряд є абсолютно збіжним.
У граничному випадку, коли матриця складається з одного числа \ (a, \) тобто має розмір \ (1 \ times 1, \) наведена формула перетворюється в відому формулу розкладання експоненційною функції \ (> \) в ряд Маклорена. \ [> = 1 + at + \ frac >>> + \ frac >>> + \ cdots> = ^ \ infty >>>>.> \] Матрична експонента має наступні основні властивості:Якщо \ (A \) - нульова матриця, то \ (> = = I; \)
Якщо \ (A = I \) (\ (I \) - одинична матриця), то \ (> = I; \)
Якщо для \ (A \) існує зворотна матриця \ (>, \) то \ (> = I; \)
\ (>> = \ right) A >>, \) де \ (m, n \) - довільні дійсні або комплексні числа;
Похідна матричної експоненти виражається формулою \ [\ frac> \ left (>> \ right) = A>. \]
Нехай \ (H \) - невироджене лінійне перетворення. Якщо \ (A = HM>, \) то \ (> = H >>. \)Застосування матричної експоненти для вирішення однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами
Матрична експонента може успішно використовуватися для вирішення систем диференціальних рівнянь. Розглянемо систему лінійних однорідних рівнянь, яка в матричної формі записується у вигляді \ [\ mathbf '\ left (t \ right) = A \ mathbf \ left (t \ right). \] Загальне рішення такої системи представляється через матричну експоненту у вигляді \ [\ mathbf \ left (t \ right) => \ mathbf, \] де \ (\ mathbf = ,, \ ldots,> \ right) ^ T> \) - довільний \ (n \) - мірний вектор. Символ \ (^ T \) позначає операцію транспонування. У цій формулі ми не можемо записати вектор \ (\ mathbf \) перед матричної експонентою, оскільки твір матриць \ (\ mathop> \ limits_ \ right]> \ mathop >> \ limits_ \ right]> \) не визначене.
Для завдання з початковими умовами (завдання Коші) компоненти вектора \ (\ mathbf \) виражаються через початкові умови. У цьому випадку рішення однорідної системи записується у вигляді \ [\ mathbf \ left (t \ right) => _ 0>, \; \; \ text \; \; _ 0> = \ mathbf \ left (> \ right). \] Таким чином, рішення однорідної системи рівнянь стає відомим, якщо обчислена відповідна матрична експонента. Для її обчислення можна скористатися нескінченним рядом, який міститься у визначенні матричної експоненти. Однак часто це дозволяє знайти матричну експоненту лише наближено. Для вирішення завдання можна використовувати також алгебраїчний спосіб, заснований на останньому властивості з перерахованих вище. Розглянемо цей спосіб і загальний хід рішення більш детально.
Алгоритм рішення системи рівнянь методом матричної експоненти
Спочатку знаходимо власні значення \ (\) матриці (лінійного оператора) \ (A; \)
Обчислюємо власні і (в разі кратних власних значень) приєднані вектори;
З отриманих власних і приєднаних векторів складаємо невироджених матрицю лінійного перетворення \ (H. \) Обчислюємо відповідну зворотну матрицю \ (> \); Знаходимо нормальну жорданову формуJ для заданої матриці \ (A, \) використовуючи формулу \ [J => AH. \] Примітка: У процесі знаходження власних і приєднаних векторів часто стає зрозумілою структура кожної жорданової клітини. Це дозволяє відразу записати жорданову форму без обчислення за вказаною формулою.Знаючи жорданову форму \ (J, \) складає матрицю \ (>. \) Відповідні формули для такого перетворення виводяться з визначення матричної експоненти. Для деяких простих Жорданових форм матриця \ (> \) має вигляд, наведений в таблиці: