Двічі безперервно диференціюється функція f (x) є опуклою (увігнутою) тоді і тільки тоді, коли матриця Гессе функції f (x) по x позитивно (негативно) полуопределена для всіх x (див. Точки локальних екстремумів функції багатьох змінних).
Критичні точки функції:
- якщо гессіан позитивно визначений, то x0 - точка локального мінімуму функції f (x).
- якщо гессіан негативно визначений, то x0 - точка локального максимуму функції f (x).
- якщо гессіан не є знакоопределённим (приймає як позитивні, так і негативні значення) і невирождени (), то x0 - сідлова точка функції f (x).
Критерії визначеності матриці (теорема Сильвестра)
Позитивна визначеність.- всі діагональні елементи матриці повинні бути позитивними;
- всі провідні головні визначники повинні бути позитивними.
- всі діагональні елементи невід'ємні;
- всі головні визначники невід'ємні.
Квадратна симетрична матриця порядку n. елементами якої є приватні похідні цільової функції другого порядку, називається матрицею Гессе і позначається:
Для того, щоб симетрична матриця була позитивно визначена, необхідно і достатньо, щоб всі її діагональні мінори були позитивні, тобто
для матриці A = (aij) позитивні.
Негативна визначеність.
Для того щоб симетрична матриця була негативно визначена, необхідно і достатньо, щоб мали місце нерівності:
(-1) k Dk> 0, k = 1. n.
Іншими словами, для того, щоб квадратична форма була негативно певної. необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів матриці квадратичної форми чергувалися, починаючи зі знака мінус. Наприклад, для двох змінних, D1 <0, D2> 0.
- Зниження порядку. Робиться заміна змінних. Наприклад, для функції двох змінних це y = x. в результаті отримуємо функцію одного змінного x. Далі досліджується поведінка функції на прямих y = x і y = -x. Якщо в першому випадку функція в досліджуваній точці матиме мінімум, а в іншому випадку максимум (або навпаки), то досліджувана точка являє собою седловую точку.
- Знаходження власних значень гессіан. Якщо всі значення позитивні, функція в досліджуваній точці має мінімум, якщо все негативні - є максимум.
- Дослідження функції f (x) в околі точки ε. Змінні x замінюються на x0 + ε. Далі необхідно довести, що функція f (x0 + ε) від однієї змінної ε, або більше нуля (тоді x0 точка мінімуму), або менше нуля (тоді x0 точка максимуму).
Приклад №1. Які з наступних функцій є опуклими або увігнутими: f (x) = 8x1 2 + 4x1 x2 + 5x2 2.
Рішення. 1. Знайдемо приватні похідні.
2. Вирішимо систему рівнянь.
-4x1 + 4x2 + 2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
отримаємо:
а) З першого рівняння висловлюємо x1 і підставляємо в друге рівняння:
x2 = x2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Звідки x2 = 4
Дані значення x2 підставляємо у вираз для x1. Отримуємо: x1 = 9/2
Кількість критичних точок дорівнює 1.
M1 (9/2; 4)
3. Знайдемо приватні похідні другого порядку.
4. Обчислимо значення цих приватних похідних другого порядку в критичних точках M (x0; y0).
Обчислюємо значення для точки M1 (9/2; 4)
Будуємо матрицю Гессе:
D1 = a11 <0, D2 = 8> 0
Оскільки діагональні мінори мають різні знаки, то про опуклості або угнутості функції нічого сказати не можна.
Приклад №2. З'ясувати, чи є функція f (x) = 2x1 2 + x2 2 + sin (x1 + x2) опуклою в просторі R 2.
Рішення. Двічі диференціюється функція є опуклою в просторі R 2. якщо головні кутові мінори матриці Гессе невід'ємні. Запишемо матрицю Гессе - матрицю других похідних:
Кутові мінори відповідно рівні:
Таким чином, D1> 0, D2> 0 при всіх значеннях, тобто функція f (x) опукла.