Нехай - лінійний оператор, - все його власні значення з кратностями рівними відповідно, - відповідні кореневі підпростори, - індуцірованнний нильпотентною оператор Ai на інваріантному кореневому підпросторі Ri.
Визначення 6: Жорданова базисом простору V для оператора *** називається об'єднання Жорданових базисів кореневих підпросторів Ri побудованих для Ai.
Фіксуємо циклічне підпростір і розглянемо індукований лінійний оператор на інваріантному підпросторі Z. Так як, то # 966; (Z) Таким чином, доведено наступне твердження. Затвердження 2: матриця лінійного оператора в Жорданова базисі - клітинно-діагональна. На її діагоналі розташовуються Жорданова клітини розмірів, рівних розмірам циклічних підпросторів, на які розпадаються кореневі підпростори відповідні власним значенням оператора # 966; . Визначення 7: матрицю виду (5), описану в Затвердження 2 називають жорданової матрицею. Знаходження матриці лінійного оператора # 966; в його Жорданова базисі має назву приведенням матриці оператора # 966; до жорданової нормальній формі. Для будь-якого лінійного оператора, що має власні значення з кратностями існує базис, в якому матриця A # 966; має жорданову нормальну формулу J. При цьому жорданова нормальна форма J однозначно визначена для оператора # 966; з точністю до порядку розташування діагональних клітин. Доказ: візьмемо Жорданія базис в просторі V. За Утвердженню 2 матриця A # 966; оператора # 966; має в цьому базисі жорданову нормальну форму. Доведемо єдиність J .Для побудови J потрібні коріння характеристичного рівняння з кратностями. Крім того потрібні розмірності циклічних підпросторів. Характеристичний многочлен - інваріант. Розмірності циклічних підпросторів по Теоремі 2 визначаються однозначно. Отже J - єдино (з точністю до порядку розташування діагональних клітин). # Побудова жорданова базису і жорданової нормальної формиJлінейного оператора # 966 ;. заданого матріцейA. 1) знаходимо коріння характеристичного ур-я і їх кратності. 2) Для кожного складаємо матрицю і обчислюємо rang, якщо rang>, товичісляем, і т. Д. Поки не знайдеться мінімальна ступінь така, що rang =. 3) Розглянемо стовпці, в яких розташований базисний мінор матриці. Їх лінійна оболонка очевидно є Im. Знайдемо підпростір = Im ∩Ker. В знаходимо базис - це ті с. в-ри, з яких починаються Жорданова ланцюжка максимальної довжини, яка дорівнює, якщо загальне число в-в в цих ланцюжках одно, по процес припиняється. Якщо ж довжина ланцюжків <, то рассматриваем = Im ∩Ker и дополняем уже выбранные векторы (из ) до базиса . Вновь добавленные с. в-ры служат началом жорданновых цепочек максимальной длины . Если общая длина цепочек <, то продолжаем построение новых с. в-ор из (дадут цепочки длиной ). И так далее, пока общая длина цепочек не окажется равной . 4) Жорданія базис виходить при об'єднанні Жорданових базисів кореневих підпросторів. 5) Жорданова нормальна форма J матриці A має клітинно-діагональний вигляд і може бути виписана безпосередньо або отримана за формулою, де T - матриця переходу від вихідного базису (E) до жорданову базису. У стовпчиках матр. T Стоять коорд. базис. в-в жорданова базису. Послідовно приєднані до вектори знаходяться, як рішення сист. лин. ур-ий виду:, де.