Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Якщо досліджуваний процес призводить до уповільнення зростання ка-кого-то показника, але при цьому зростання не припиняється, не прагне до якогось обмеженого межі, то Гіпербій-вої форма тренда вже не підходить. Тим більше не підходить парабола з негативним прискоренням, по якій уповільнюю-щійся зростання перейде з часом в зниження рівнів. У зазначений-ном випадку тенденція зміни найкраще відображається логарифмічною формою тренда: = a + b ln.
Логарифми зростають значно повільніше, ніж самі числа (номери періодів), але зростання логарифмів необмежений. Підбираючи початок відліку періодів (моментів) часу, мож-но знайти таку швидкість зниження абсолютних змін, ко-торая найкращим чином відповідає фактичному тимчасовому ряду.
Прикладом тенденцій, відповідних логарифмическому тренду, може служити динаміка рекордних досягнень в спорті.
Основні властивості логарифмічного тренду:
1. Якщо b> 0, то рівні зростають, але з уповільненням, а якщо b<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.
2. Абсолютні зміни рівнів по модулю завжди умень-шаются згодом.
3. Прискорення абсолютних змін мають знак, протидії положную самим абсолютним змін, а по модулю пості-пінно зменшуються.
4. Темпи зміни (ланцюгові) поступово наближаються до 100% при.
Можна зробити загальний висновок про те, що логарифмічний тренд відображає, так само як і гіперболічний тренд, пості-пінно загасаючий процес змін. Різниця полягає в тому, що загасання по гіперболі відбувається швидко при наближені-ванні до кінцевого межі, а при логарифмічному тренді зату-хающіх процес триває без обмеження набагато повільніше
Опр. Адаптивними методами прогнозування (або моделями експоненціального згладжування) називається методи, що дозволяють будувати самокорегуюча ЕММ, які враховують результат реалізації прогнозу, зробленого на попередньому кроці, і будують прогноз з урахуванням отриманих результатів.
Інструментом прогнозу в адаптивних методах прогнозування служать математичні моделі, початкова оцінка параметрів, яких здійснюється зазвичай за деякою вибіркою вихідного ряду, званого навчальною послідовністю.
Алгоритм побудови моделі адаптивного прогнозування укладається в наступну схему:
Для початку робиться оцінка початкових умов (так звані нульові значення адаптуються параметрів), потім робиться прогноз на один крок вперед, отримані прогнозні значення порівнюються з фактичними значеннями. Якщо помилка прогнозу перевищує заданої наперед визначеної похибки, то виробляють модифікацію моделі, і з урахуванням цього будують новий прогноз, далі на другий крок, і знову порівнюють отриманий прогноз з фактичною реалізацією процесу. Процес повторюють до тих пір, поки різниця, між прогнозними і фактичним значеннями, не стане мінімальною. Таким чином, будуть отримані параметри адаптується моделі, і з урахуванням їх значень будують ретроспективний прогноз.
Найпростішою моделлю адаптивного прогнозування є модель Брауна, яка виглядає наступним чином:
х з хвилею (?) = а0т + А1Т * т (1) .где - прогноз, виконаний на. кроків вперед на t-му кроці адаптації, - адаптуються параметри моделі. - період попередження. Параметри розраховуються за формулами:
система: а0т = 2St (1) - St (2), f1t = 1 -бетта / бета * (St (1) - St (2)), (2) де - експоненціальні середні відповідно 1-го і 2-го порядків ;. - параметр згладжування (адаптації). Іноді параметр згладжування позначають як? = 1? Експоненціальна середня 1-го порядку є сумою зважених значень змінної за весь попередній період адаптації і визначається формулою: St (1) = (1-бета) * хе + бета * St-1 (1). (3)
де. - параметр згладжування. або так званий ваговий коефіцієнт, - фактичне значення навчальної множини, - експоненціальна середня на попередньому кроці.
Експонентну середню можна виразити через попередню експонентну середню. St-1 (1) = (1-бета) * хе-1 + бета * St-2 (1), (4) підставивши (4) в (2) отримаємо: St (1) = (1-бета) * хе + бета * (1-бета) * ХT-1 + бета в кв * St-2 (1), (5) Аналогічно можна виразити через попередню експонентну середню і підставити в рівняння (3) і. і. і т.д. Звідси маємо St-2 (1) = (1-бета) * сума від 0 до 1 БЕТТА (j) * ХT-j + бета (t) * S0 (1). (6) Таким чином, застосувавши таку процедуру експоненціального згладжування до вихідного ряду, одержимо згладжений ряд першого порядку. Повторне застосування процедури експоненціального згладжування вже до згладженому ряду першого порядку, називається процедурою експоненціального згладжування другого порядку (до застосовуємо формулу (3)): St (2) = (1 бета) * St (1) + бета * St-1 (2 ), (7) Початкові значення експоненційних середніх будуть визначатися за формулами: система: S0 (1) = a00- (бета / 1 бета) * А10; S0 (2) = a00- (2 * бета / (1-бета)) * А10, (8), Система (8) отримана рішенням системи (2) щодо при t = 0.
Початкові значення параметрів (необхідні для вирішення системи (8)) розраховуються як коефіцієнти регресії хт = А00 + А10 * т Відзначимо, що значення параметра адаптації? = 1? лежить в інтервалі (1; 0). Вибір значення. залежить від того, яким значенням вихідного ряду (початковим або кінцевим) надається більшої ваги. Якщо потрібно додати ваги пізнішим значення ряду (збільшити ступінь реагування моделі на останні зміни), то беруть значення. більше 0,5. Якщо ж хочуть отримати більш згладжену картину тенденції розвитку ряду, тобто прагнуть уникнути короткострокових змін і підвищити ступінь стійкості моделі, то значення. беруть менше 0,5, і таким чином надають вагу раннім спостереженнями ряду.
Будемо розглядати два способи визначення параметра адаптації.
1) метод Брауна алфа = 2 / m + 1, де m-число спостережень в ряду.
2) метод вибору. виходячи з мінімуму середньоквадратичної помилки між розрахунковим і фактичним значеннями.
Іноді адаптивну модель Брауна називають моделлю лінійного росту Брауна.
Модель Хольта, що містить два параметри адаптації, виглядає наступним чином: х з хвилею е (р) = ае + бе * р (3.1.), Де - прогноз, виконаний на. кроків вперед після t кроків адаптації, - коректовувані параметри моделі на кожному кроці t. - період попередження прогнозу. Адаптація параметрів моделі відбуваються за такими формулами: система: ае = альфа 1 * х1 + (1 альфа) * (ае-1 + бе-1); бт = альфа2 * (фе-фе-1) + (1-фльфа2) * бт-1, (3.2) де? [0. 1] - параметри адаптації.
Модель Хольта-Уінтерс має іншу назву адаптивної сезонної моделі з лінійним трендом має три параметри адаптації. Розрізняють аддитивную і мультипликативную модель Хольта-Уінтерс в залежності від того, як включена сезонна складова (множення або додавання). Рекурентні формули для поновлення мультипликативной моделі: система: а0е = альфа * (хт / фт-1) + (1-альфа 1) * (ф0е-1 + ф1т-1); А1Т = альфа2 * (а0т-а0т-1) + (1-альфа 2) * ат-1; фе = альфа3 * (хт / а0т) + (1-альфа3) * фе-ий
(4.1) де - адаптуються параметри лінійного тренда на t-му кроці адаптації, - параметри адаптації, - адаптується параметр сезонних коефіцієнтів на t- му кроці адаптації, l - період сезонності. Прогнозування в мультиплікативної моделі на. кроків вперед здійснюється за формулою: х з фолной т + р = а0т + ф1т * р + фе-1 + р, 4.5) Визначення початкових параметрів А00, А10, фий-1 (i = 0, 1, ..., l) для параметрів адаптації альфа 1 2 3 виходить з наступних вимог: параметри А00, А10 визначаються як коефіцієнти регресії хт = А00 + А10 * т, що адаптуються ж коефіцієнти сезонності визначаються як середнє арифметичне значення індексів фС хвилею т = хт-у расч.т (для мультиплікативної моделі ) і ф з хвилею = хт-у расч.т.
(Для адитивної моделі), причому розраховуються вони для кожної однойменної фази періоду (-розрахункові значення лінійного тренда).
Параметри альфа 1,2,3 визначаються зазвичай з умови мінімізації суми квадратів помилок, причому необхідно враховувати, що альфа 2 параметр згладжування тренда, а - альфа3 параметр адаптації сезонних коефіцієнтів