15. Лінійна функція
Визначення. Нехай a і b - дійсні числа. Функція, визначена на множині \ mathbb за правилом x \ rightarrow ax + b. називається лінійної. Число a називається кутовим коефіцієнтом. b - вільним членом цієї функції.
Властивості лінійної функції
Нехай \ varphi (x) = ax + b - лінійна функція.
1. Якщо a> 0. то \ varphi строго зростає, якщо a<0. то \varphi строго убывает.
Доведення. Нехай x_1, x_2 \ in \ mathbb, x_1> x_2,
якщо a> 0. то \ varphi (x_1) - \ varphi (x_2)> 0,
якщо a<0. то \varphi(x_1)-\varphi(x_2)<0 .
2. Нехай E_ - безліч значень функції \ varphi. Якщо a \ ne0. то E _ = \ mathbb. якщо a = 0. то E _ = \
Доведення. Випадок a = 0 очевидний. Нехай a \ ne0. Нехай y - довільне дійсне число. Потрібно довести, що число y є значенням функції \ varphi. тобто що при деякому x виконується рівність
Отже, \ displaystyle y = \ varphi \ left (\ right). Отже, y \ in E_.
3. Якщо a \ ne0. то \ varphi має один корінь \ displaystyle-.
4. \ displaystyle \ varphi \ left (- \ right) = 0. Якщо a> 0. то \ varphi строго зростає, отже, при \ displaystyle x> - \ varphi (x)> \ varphi \ left (- \ right). тобто \ varphi (x)> 0;
при \ displaystyle x<- \displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-\right). то есть \varphi(x)<0 .
якщо a<0. то \varphi строго убывает, следовательно, при \displaystyle x>- \ Displaystyle \ varphi (x)<\varphi\left(-\right). то есть \varphi(x)<0 ;
при \ displaystyle x<- \displaystyle \varphi(x)>\ Varphi \ left (- \ right). тобто \ varphi (x)> 0.
5. Знайдемо середню швидкість зростання лінійної функції на довільному відрізку [\ alpha; \ beta] (\ alpha \ ne \ beta):
Середня швидкість росту лінійної функції постійна і дорівнює її кутовому коефіцієнту.
Ця властивість є характеристичним властивістю лінійної функції.
Теорема. Нехай функція f визначена на безлічі \ mathbb і має постійну середню швидкість росту. Тоді f - лінійна функція.
Доведення. Нехай a - середня швидкість росту функції f. нехай b = f (a). Доведемо, що
Якщо x \ ne0. то \ displaystyle = a (це вірно при x> 0 і при x<0 ). f(x)-b=ax\Rightarrow f(x)=ax+b .
Остання рівність вірно і для x = 0.
6. Графік лінійної функції - пряма.
Визначення. Функція, визначена на всій числовій осі, називається кусочно-лінійної. якщо числову вісь можна розбити на проміжки так, що всередині кожного з проміжків ненульовий довжини ця функція лінійна.
Приклади кусочно-лінійних функцій: f (x) = | x |, \ f (x) = [x] - ціла частина числа, f (x) = \
1. Знайдіть рівняння прямих, які відповідають умовам:
1) Пряма проходить через точки (2; 0) і (-1; 3).
2) Пряма проходить через точки (2; 1) і (2; 7).
3) Пряма проходить через початок координат і паралельна прямій y = 2x-1.
4) Пряма проходить через точку (-1; 2) і паралельна прямій 3x-5y = 2.
5) Пряма рівновіддалена від точок (1; 1) і (3; 3) і перпендикулярна прямій, що проходить через ЕІ точки.
2. Функція f задана формулою f (x) = 5-3x. Знайдіть безлічі:
3. Функція f задана формулою f (x) = ax + 1. Для кожного з наступних тверджень знайдіть все значення f (x) = ax + 1. Для кожного з наступних тверджень знайдіть все значення a. для яких воно справедливо:
4. З'ясуйте, при яких значеннях a справедливо наступне твердження:
5. Зобразіть г.м.т. задається умовами:
5) Побудуйте графіки функцій:
Для мене несподівано виникло питання:
============================
Чи можна вважати функцію y = sign (x) кусочно-лінійної?
============================
Адже за визначенням (як дано вище):
Функція, визначена на всій числовій осі, називається кусочно-лінійної, якщо числову вісь можна розбити на проміжки ненульова довжини, всередині кожного з яких ця функція лінійна.
============================
А значення y = 0 дається тільки для однієї точки. При цьому виходить "проміжок" НУЛЬОВИЙ довжини.
.
** Або, може бути, підправити наведене визначення.
.
** Або не визнавати функцію y = sign (x) кусочно-лінійної.
Важливо ще те, що функція повинна бути визначена на всій осі. Тому все вірно. Для проміжків нульової довжини нічого не вимагаємо.
По-моєму, зараз визначення абсолютно коректно.
=================================
А в Вікіпедії, згоден, є прикрі помилки.