Донецьке територіальне відділення МАН України
Донецька загальноосвітня школа І-ІІІступеней №111
Фізико-математичне та економічне відділення
Секція: прикладна математика
Панасюк Василь Анатолійович
Донецька загальноосвітня школа №111
Куліш Людмила Миколаївна
учитель математики ДЗШ №111
Необхідність в дрібних числах виникла в результаті практичної діяльності людини. Потреба в знаходженні часткою одиниці з'явилася наших предків при розподілі здобичі після полювання. Другою суттєвою причиною появи дрібних чисел слід вважати вимір величин за допомогою обраної одиниці виміру.
Першою дробом, з якою познайомилися люди. була половина. Хоча назви всіх наступних дробів пов'язані з назвами їх знаменників (три - «третина», чотири - «чверть» і т. Д.), Для половини це не так - її назва у всіх мовах не має нічого спільного зі словом «два». Наступною дробом була третина.
Таким чином. перші дроби, з якими нас знайомить історія, це дроби виду - - так звані одиничні дроби або аліквотні (від лат. aliquot - «кілька»).
Поодинокі дробу зустрічаються в найдавніших дійшли до нас математичних текстах, складених більше 5000 років тому, - давньоєгипетських папірусах і вавилонських клинописних табличках. Єгипетська дріб - в математиці сума кількох дробів виду (так званих аліквотних дробів). Іншими словами, кожна дріб суми має чисельник. дорівнює одиниці, і знаменник. представляє собою натуральне число.
Єгипетська дріб являє собою позитивне раціональне число виду; наприклад, єгипетська дріб. записана вище, може бути записана у вигляді дробу 43/48. Можна показати, що кожне позитивне раціональне число може бути представлено у вигляді єгипетської дробу. Сума такого типу використовувалася математиками. як визначення, для дробів починаючи з часів стародавнього Єгипту до середньовіччя.
Завдання з використанням в рішенні аліквотних дробів становлять великий клас нестандартних завдань. Сюди відносяться, перш, за все, завдання, в яких потрібно розділити будь-які ресурси на кілька частин з найменшою кількістю дій для цього.
Мета дослідження:
З'ясувати, яке значення мають аліквотні дробу в нашому житті
Завдання дослідження:
Пізнай аліквотних дробів.
Розглянути основні операції з Аліквотні дроби.
Складати і вирішувати завдання практичного змісту.
2.Основні частина.
Походження аліквотних дробів.
Тема «Аліквотні дроби» є цікавою темою для дослідження дробів. Зіткнувшись з цим терміном вперше, розумієш, чому в Стародавньому Єгипті математики «справжніми» дробом вважали тільки аліквотні дробу.
Отже, єгиптяни все дроби записували як суми часток. тобто дробів виду 1 / n. Наприклад: 8/15 = 1/3 + 1/5. Дробу 1 / n (де n - натуральні числа), яким єгиптяни віддавали перевагу, в сучасній математиці називаються Аліквотні (від латинського aliguot- "кілька ''). Тобто Аліквотні дроби називаються дроби з чисельником 1. І навіть самі аліквотні дроби вони часто прагнули представити у вигляді суми менших аліквотних дробів. Наприклад,
Такі дробу використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити «Хекат», основну міру обсягу в Стародавньому Єгипті, т.е.аліквотние дроби потрібні були єгиптянам в практичних цілях.
Пояснимо це прикладом. Розглянемо таку задачу: «Розділити 7 хлібів між 8 людьми».
Очевидно. кожен повинен отримати одного хліба. Сучасний школяр швидше за все вирішував би завдання так: треба розрізати кожен хліб на 8 рівних частин і кожній людині дати по одній частині від кожного хліба. А ось як ця задача вирішена на папірусі Райнд - це давньоєгипетський математичний текст, переписаний близько 1650 до н.е. писарем Ахмеса.
Оскільки. Отже, кожній людині потрібно дати по половині, чверті і восьмушки хліба. Тепер ясно, що треба 4 хліба розрізати навпіл, 2 хліба на 4 частини і тільки один хліб - на 8 частин. І якщо нашому школяреві довелося б зробити 49 розрізів, то Ахмеса - всього 17, тобто єгипетський спосіб майже в 3 рази економічніше.
Якщо розрізати кожен хліб на 8 частин, доведеться провести 49 розрізів. А по-єгипетськи ця задача вирішувалася так: 7/8 = 1/2 +1/4 +1/8. Значить, кожній людині дати півхліба. чверть хліба і восьмушку хліба. Доведеться зробити майже в три рази менше розрізів.
Єгипетські дроби тривали використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження древніх математиків. Наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонської системою (позиційна система числення)
Важливу роботу по дослідженню єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі в своїй праці «Liber Abaci» - це обчислення, використовують десяткові і звичайні дроби, витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складну запис дробів, що включала запис чисел зі змішаним підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також в книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.
2.2 Основні операції над Аліквотні дроби
Щоб уявити будь-яке число у вигляді суми аліквотних дробів, часом доводиться проявляти. неабияку винахідливість. Скажімо, число 2/43 виражається так: 2/43 = 1/42 +1/86 +1/129 + 1 / 301.Проізводіть арифметичні дії над числами, розкладаючи їх в суму часткою одиниці, дуже незручно.
Тому в процесі вирішення завдань для розкладання аліквотних дробів у вигляді суми менших аліквотних дробів виникла ідея систематизувати розкладання дробів у вигляді формули. Ця формула діє, якщо потрібно розкладання аликвотной дробу на дві аліквотні дробу.
Формула виглядає наступним чином:
Приклади розкладання дробів:
Але якщо перетворити нашу формулу, то отримаємо наступне корисне рівність:
Тобто аликвотную дріб можна представити різницею двох аліквотних дробів, або різницю двох аліквотних, знаменателями яких є послідовні числа дорівнює їх добутку.
Повернемося до формули і доведемо це рівність:
(N + 1) / ((n + 1) * n) після скорочення отримуємо:
Отже, виходить, що 1 / n = 1 / n. Наша формула вірна.
Але ми підемо далі, і на підставі різниці аліквотних дробів вирішимо, на перший погляд, важковирішувану для звичайної людини завдання:
Скористаємося нашої формулою для розкладання аликвотной дробу у вигляді різниці:
1/20 = 1 / (4 * 5) = 1 / 4-1 / 5 і т.д.
Підставивши, вже розкладені вираження в наш приклад, отримуємо:
Ми представили формулу, як зручність при розкладанні аликвотной дробу на 2 доданків. При розкладанні 1 на два доданків виходить:
1 = 1/2 + 1/2 (Наша формула діє!). Щоб розкласти 1 на 3 доданків. ми візьмемо одну аликвотную дріб і за формулою розкладемо її ще на дві аліквотні дробу:
Щоб розділити на 4 доданків. ділимо ще одну дріб на дві аліквотні дробу:
На 5 доданків: 1/6 = 1/7 + 1/42 => 1 = 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42.
2.3.1.Представіть число 1 у вигляді сум різних аліквотних дробів
А) трьох доданків
Б) чотирьох доданків
Щоб дізнатися в якому році в Донецьку буде проводитися чемпіонат Європи з футболу потрібно суму аліквотних дробів
Таким чином. при розробці даної теми, ми дізналися, що першими дробом, якими оперували люди, були аліквотні дробу. З'ясували, що кожне раціональне число виду a / b може бути розкладено на одиничні дроби.
Завдання з використанням аліквотних дробів становлять великий клас нестандартних завдань. Аліквотні дробу використовуються тоді, коли потрібно щось розділити на кілька частин з найменшою кількістю дій для цього.
Розкладання дробів на дві аліквотні дробу систематизували у вигляді формули. перетворивши яку, легко вирішили олімпіадні задачі з математики різних років.
Вирішивши проблему розкладання аліквотних дробів на дві аліквотні дробу, ми прийшли до висновку, що розкладання на три, чотири, п'ять і т.д. аліквотних дробів можна зробити, розклавши одна з складових на дві дробу, наступне доданок ще на дві аліквотні дроби і т.д.
Таким чином. аліквотні дробу (з чисельником 1) довгий час були єдиними дробом. з якими якось умів оперувати людина, а правила дій з довільними дробами розроблені «порівняно недавно».
У сучасній математиці замість єгипетських дробів використовуються прості і десяткові дроби. однак єгипетські дроби продовжують вивчатися в теорії чисел та історії математики.
Надалі я хочу зайнятися дослідженням аліквот при розподілі, а при множенні, вважаю, що аліквоти будуть, виходити завжди. І це очевидно.