Вивчення тригонометрії ми почнемо з прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус і косинус, а також тангенс і котангенс гострого кута. Це основи тригонометрії.
Нагадаємо, що прямий кут - це кут, рівний 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.
Гострий кут - менший 90 градусів.
Тупий кут - більший 90 градусів. Стосовно до такого кутку «тупий» - не образа, а математичний термін :-)
Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернемо увагу, що сторона, яка лежить навпроти кута, позначається тією ж буквою, тільки маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається.
Кут позначається відповідною грецькою буквою.
Гіпотенуза прямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.
Катети - сторони, що лежать навпроти гострих кутів.
Катет. що лежить навпроти кута. називається протилежним (по відношенню до кута). Інший катет. який лежить на одній зі сторін кута. називається прилеглим.
Синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
Косинус гострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
Тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:
Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:
Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те ж саме, відношення косинуса до синуса):
Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенса і котангенс, які наведені нижче. Вони стануть в нагоді нам при вирішенні завдань.
Давайте доведемо деякі з них.
- Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює. Значить, сума двох гострих кутів прямокутного трикутника равнa.
- З одного боку, як відношення протилежного катета до гіпотенузи. З іншого боку, . оскільки для кута катет а буде прілежащім.Получаем, що. Іншими словами, .
- Візьмемо теорему Піфагора: .Поделім обидві частини на. Ми отримали основне тригонометричну тотожність.
- Поділивши обидві частини основного тригонометричного тотожності на. отримаємо: Це означає, що якщо нам дано тангенс гострого кута. то ми відразу можемо знайти його косінус.Аналогічно,
Добре, ми дали визначення і записали формули. А для чого все-таки потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?
Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.
Знаємо співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Це теорема Піфагора:.
Виходить, що знаючи два кута в трикутнику, можна знайти третій. Знаючи дві сторони в прямокутному трикутнику, можна знайти третю. Значить, для кутів - своє співвідношення, для сторін - своє. А що робити, якщо в прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) і одна сторона, а знайти всі інші сторони?
З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості і зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти всі сторони трикутника.
Синус, косинус і тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута - дають співвідношення між сторонами і кутами трикутника. Знаючи кут, можна знайти все його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси і тангенси кутів трикутника і одну з його сторін, можна знайти інші.
Ми теж намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенса і котангенс для «хороших» кутів від до.
Зверніть увагу на два червоних прочерку в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс і котангенс не існують.
Ти знайшов те, що шукав? Поділися з друзями!
Розберемо кілька завдань з тригонометрії з Банку завдань ФІПІ.
1. У трикутнику кут дорівнює. . Знайдіть.
Завдання вирішується за чотири секунди.
2. У трикутнику кут дорівнює. . . Знайдіть.
Знайдемо по теоремі Піфагора.
Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами і чи з кутами і. Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!
Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута в. дорівнює половині гіпотенузи.
Трикутник з кутами і - рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.
Ми розглянули завдання на рішення прямокутних трикутників - тобто на знаходження невідомих сторін або кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІ з математики безліч завдань, де фігурує. Про це - в наступній статті.
Телефонуйте нам: 8 (800) 775-06-82 (безкоштовний дзвінок по Росії)
+7 (495) 984-09-27 (безкоштовний дзвінок по Москві)
Або натисніть на кнопку «Дізнатися більше», щоб заповнити контактну форму. Ми обов'язково Вам зателефонуємо.
Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника.
Вітаю Вас дорогі учні.
Зараз розглянемо що ж таке синус, косинус, тангенс і котангенс в прямокутному трикутнику?
Це тема не складна, головне це запам'ятати правила. Тож почнемо:
Згадаймо, що таке прямокутний трикутник?
Прямокутним трикутником. називається трикутник у якого один з кутів прямий (становить 90 градусів). Дві сторони які прилягають до прямого кута, називаються катетами. а сторона лежить навпроти прямого кута, називається гіпотенузою.
Синус (sin (a)) - це відношення протилежного катета до гіпотенузи;
Косинус (cos (a)) - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи;
Тангенс (tg (a)) - це відношення протилежного катета до прилеглого катета;
Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу;
Котангенс (ctg (a)) - це відношення прилеглого катета до протилежного.
Інше (рівносильне) визначення: котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синусу;
Нехай дано прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C.
sin (a) = BC / AB
cos (a) = AC / AB
tg (a) = BC / AC
ctg (a) = AC / BC
Знайти sin (a); cos (a); tg (a); ctg (a)
Відношення сторін в прямокутному трикутнику
Аналогічно міркуємо щодо кута B.
sin (b) = AC / AB
cos (b) = BC / AB
tg (b) = AC / BC
ctg (b) = BC / AC
Знайти sin (b); cos (b); tg (b); ctg (b)
Відношення сторін в прямокутному трикутнику
Знайти тангенс кута С (tg (C)) трикутника ABC.
Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.
Вступайте в групу
Синус косинус. Визначення. Друзі! В. де були розглянуті завдання на рішення прямокутного трикутника, я пообіцяв викласти прийом запам'ятовування визначень синуса і косинуса. Використовуючи його, ви завжди швидко згадайте - який катет відноситься до гіпотенузи (прилегла або протилежні). Вирішив в «довгий ящик не відкладати», необхідний матеріал нижче, прошу ознайомитися 😉
Справа в тому, що я не раз спостерігав, як учні 10-11 класів насилу згадують ці терміни. Вони прекрасно пам'ятають, що катет відноситься до гіпотенузи, а ось який з них - забувають і плутають. Ціна помилки, як ви знаєте на іспиті - це втрачений бал.
Інформація, яку я представлю безпосередньо до математики не має ніякого відношення. Вона пов'язана з образним мисленням, і з прийомами словесно-логічного зв'язку. Саме так, я сам, раз і на завжди запам'ятав ці терміни. Якщо ви їх все ж забудете, то за допомогою представлених прийомів завжди легко згадаєте.
Нагадаю визначення синуса і косинуса в прямокутному трикутнику:
Косинус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
Синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
Отже, які асоціації у вас викликає слово косинус?
Напевно, у кожного свої 😉 Запам'ятовуйте зв'язку:
Таким чином, у вас відразу в пам'яті виникне вираз -
Проблема з визначенням косинуса вирішена.
Якщо потрібно згадати визначення синуса в прямокутному трикутнику, то згадавши визначення косинуса, ви без праці встановіть, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Адже катетів всього два, якщо прилегла катет «зайнятий» косинусом, то синусу залишається тільки протилежні.
Як бути з тангенсом і котангенсом? Плутанина та ж. Учні знають, що це відношення катетів, але проблема згадати який до якого належить - то чи протилежні до прилеглого, чи то навпаки.
Тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого:
Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного:
Як запам'ятати? Є два способи. Один так само використовує словесно-логічний зв'язок, інший - математичний.
Є таке визначення - тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:
* Запам'ятавши формулу, ви завжди зможете визначити, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого.
Аналогічно. Котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синусу:
Отже! Запам'ятавши зазначені формули ви завжди зможете визначити, що:
- тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого
- котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного.
Про тангенс. Запам'ятайте зв'язку:
Тобто якщо буде потрібно згадати визначення тангенса, за допомогою даної логічного зв'язку, ви без праці згадайте, що це
«... відношення протилежного катета до прилеглого»
Якщо мова зайде про Котангенс, то згадавши визначення тангенса ви без праці озвучите визначення котангенс -
«... відношення прилеглого катета до протилежного»
Є цікавий прийом із запам'ятовування тангенса і котангенс на сайті "". подивіться.
Можна просто зазубрити. Але як показує практика, завдяки словесно-логічним зв'язкам людина запам'ятовує інформацію надовго, і не тільки математичну.
Сподіваюся, матеріал був вам корисний.
З повагою, Олександр Крутицький
Визначення з алгебри:
Котангенсом кута x (ctg (x)) - називається відношення (cos (x)). до (sin (x)):
Формула тангенса кута:
Визначення з геометрії:
Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику називається відношення катета, прилеглого до цього кута (OA), до протилежного катета (AB).
Котангенс - новолат. cotangens, скорочення від complementi tangens - тангенс доповнення
Позначення котангенс - ctg.
Предметом вивчення тригонометрії є функції кута. Прямі функції sin, cos, tg, ctg - це такі функції, у яких аргументом є кутова величина (виражена в градусах або радіанах), а значенням функції є число.
Фізичним змістом і значенням sin буде довжина катета прямокутного трикутника, протилежного кутку, який є аргументом синуса. При цьому довжина гіпотенузи цього трикутника має дорівнювати 1 (якщо гіпотенуза іншої довжини - тоді значенням синуса буде ставлення гіпотенузи до катета, власне, це правило має місце і при одиничній гіпотенузі, просто на 1 ділити не прийнято, оскільки результат ділення все одно буде дорівнює делимому).
Фізичним змістом і значенням c os буде довжина катета прямокутного трикутника, прилеглого куті, який є аргументом косинуса. Довжина гіпотенузи теж повинна бути або дорівнює 1, або значенням косинуса буде відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенс і котангенс не мають фізичного сенсу, як такого. Тангенс - це відношення синуса до косинусу (sin / cos - синус ділити на косинус), котангенс - навпаки, ставлення косинуса до синуса. Тангенс і котангенс є зворотними величинами (tg = 1 / ctg, ctg = 1 / tg - р азумеется, аргументом в цьому випадку повинен бути один і той же кут).
Мають місце і зворотні функції: arcsin, arccos, arctg, arcctg. У цих функціях аргументом є число, а значенням буде кут, виражений в градусах або радіанах. Область визначення функцій arctg і arcctg не обмежена, а ось для arcsin і arccos обмежена діапазоном [-1..1] (ну, катет не може бути довшим гіпотенузи, а гіпотенуза прийнята довжиною в 1). Знак +/- (плюс / мінус) пов'язані з тим, що самі синус і косинус (в геометричному визначенні) є проекціями відрізка одиничної довжини (проведеного з початку координат) на вісь OY і OX відповідно. Кут між позитивним напрямом осі OX і прямий, на якій лежить цей одиничний відрізок, завжди є аргументом функцій sin, cos, tg, ctg. Так ось від'ємне значення функцій sin, cos виходить тоді, коли проекція одиничного відрізка (гіпотенузи) лежить в області негативних значанія по осях OY і OX.
При перетворенні тригонометричних виразів слід пам'ятати формули:
Зв'язують тригонометричні функції одного і того ж аргументу
Суми і різниці синуса і косинуса двох чисел (кутів).
Мають місце різні точки зору на те, які формули тригонометрії слід приводити в довідкових матеріалах, а які пам'ятати напам'ять.
У тригонометрії розглядають такі типи відносин:
формули перетворення суми двох тригонометричних функцій у добуток і добутку в суму (саме ці формули найгірше запам'ятовуються, хоча їх застосування, як правило, утруднень не викликає);
формули подвійного кута;
формули половинного кута, що є одночасно формулами зниження ступеня; формули синуса і косинуса потрійного кута (їх використання передбачається лише в деяких задачах підвищеної складності);
формули приведення, які в процесі вивчення тригонометрії, як правило, виводяться тим чи іншим чином, але абсолютно не потребують заучуванні.
