чисельні методи рішення для звичайного диференціального рівняння. Завданням Коші зв. задача визначення функції або кількох функцій, що задовольняють одному або, відповідно, системі диференціальних рівнянь і приймають задані значення в деякої фіксованої точки. нехай
- вектор-функції, визначені і неперервні відповідно на відрізку і в замкнутій області де - деяка норма в скінченномірному просторі R n. У цих позначеннях К. з. для системи звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку записується у вигляді
Вводячи відповідним чином нові невідомі функції, можна привести до такого виду К. з. для будь-якої системи звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку. Рішення завдання (1) існує, якщо функція f (x, у) .непреривна в П. Для того щоб це рішення було єдиним, досить, щоб виконувалася умова Про т к у д а:
де функція w (t) - така, що
або більш сильне умова Ліпшиця:
Величина Lназ. постійної Ліпшиця. Якщо функція f (x, у) .непреривно дифференцируема по у, то в якості постійної Ліпшиця можна взяти величину
Оцінка (3) з постійною Ліпшиця (4) виявляється в ряді випадків занадто грубою для успішного застосування чисельних методів розв'язання К. з. незважаючи на те, що теоретично рішення цього завдання існує і він єдиний. Це відбувається, зокрема, в тих випадках, коли власні значення матриці мають "великий розкид", т. Е. Найбільше власне значення в сотні або навіть тисячі разів більше найменшого власного значення. Такі системи, диференціальних рівнянь зв. жорсткими системами, а відповідні завдання - жорсткими завданнями Кош і. Одним з джерел виникнення жорстких систем є зведення рівнянь з приватними похідними до системи звичайних диференціальних рівнянь, напр. за допомогою методу прямих.
Чисельні методи для звичайних диференціальних рівнянь є, як правило, одне або кілька співвідношень, що зв'язують шукану функцію у (х) .в дискретної послідовності точці х k. k = 0, 1. безліч яких брало зв. сіткою. Основи чисельних методів взагалі і для диференціальних рівнянь зокрема були закладені Л. Ейлером (L. Euler). Його ім'ям називається один з найпростіших методів вирішення К. з. к-рий складається в наступному. Нехай рішення задачі (1) в околиці точки х k розкладено в ряд Тейлора
Якщо величина х-х k, мала, то, відкидаючи члени порядку (х-xk) 2 і більш високого, отримують наближене рівність
У точці xk + 1 наближене рішення може бути обчислено за формулою
Це співвідношення і зв. методом Ейлера.
Надалі чисельні методи були значно вдосконалені. Це розвиток велося в основному в двох напрямках: методи, які отримали в подальшому назву Рунге-Кутта методів і конечноразностного методи, найважливішим представником яких брало є Адамса метод.
До переваг методів Рунге - Кутта слід віднести те, що алгоритми, що виходять на їх основі, є однорідними, т. Е. Змінюються при переході від однієї точки сітки до іншої. Крім того, в методах Рунге - Кутта можна змінювати крок інтегрування відповідно з необхідною точністю обчислень без значного ускладнення самого алгоритму (див. Кутта - Мерсона метод, Рунге правило). На основі цих методів створені досить надійні двосторонні методи. Основним недоліком є те, що для обчислення наближеного рішення в одній точці сітки потрібно кілька обчислень правої частини f (x, у) .діфференціального рівняння (1). Це призводить, особливо при складних правих частинах, до значного збільшення часу обчислень.
У конечноразностного методах, в тому числі в методі Адамса, потрібно лише одне обчислення правої частини на один вузол сітки. Це є головною перевагою конечноразностного методів. Однак для того щоб почати обчислення з якої-небудь конечноразностной формулою, необхідно перш за обчислити додаткові "початкові значення". Це призводить до того, що алгоритм виявляється неоднорідним - перші кілька значень повинні обчислюватися за іншими формулами. Більш суттєвим недоліком конечноразностного методів є неможливість простого зміни кроку інтегрування, т. Е. Необхідність використовувати сітки з постійним кроком.
На основі конечноразностного методів розроблені так. наз. методи передбачення - уточнення, к-які представляють собою пару конечноразностного формул, одна з яких брало (пророкує) є, як правило, явною, а друга (уточнююча) - неявній, напр. пророкує:
Предсказивающе-уточнюючі методи знаходять успішне застосування при вирішенні жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь. Незважаючи на те, що диференціальні рівняння вищого порядку формально зводяться до системи рівнянь 1-го порядку, методи, пристосовані до конкретного виду диференціального рівняння, іноді виявляються значно більш ефективними. У зв'язку з цим розвиваються конечноразностного методи, які використовують похідні вищого порядку, напр. Штермер метод.
Літ. : [1] Б е р е з и н І. С. Ж і д к о в Н. П. Методи обчислень, 2 видавництва. т. 2, М. 1962; [2] Бахвалов Н. С. Чисельні методи, 2 видавництва. М. 1975; [3] Modern Numerical Methods for ordinary differential equations, Oxf. Тисячу дев'ятсот сімдесят-шість.
Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія І. М. Виноградов 1977-1985