Рівняння четвертого ступеня
(2.4) вирішується методом Феррарі. Перетворимо ліву частину (2.4) за допомогою допоміжного параметра наступним чином:
. (2.5) Параметр підбирається таким чином, щоб вираз, що стоїть в других дужках правої частини, було квадратом двочлена першого ступеня.
Отже, повинна виконуватися умова.
Це рівняння третього ступеня відносно. яке вирішується за формулами Кардано. Нехай - один з коренів цього рівняння. Тоді вираз приводиться до вигляду:
де. . а рівняння (2.4) приймає вигляд
Рішення останнього рівняння зводиться до вирішення двох квадратних рівнянь.
П р и м і р. Вирішити рівняння .
Рішення. Введемо додатковий параметр і перетворимо ліву частину вихідного рівняння:
Розглянемо рівняння. Це рівняння має один кратний корінь, якщо. т. е. виконується рівність
При вирішенні цього рівняння отримуємо, що один з його коренів. При цьому значенні рівняння набирає вигляду
З отриманих співвідношень знаходимо коріння вихідного рівняння:. .
Індивідуальні завдання по темі
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють нерівності.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність:.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність. .
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам.
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність. .
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність. .
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність. .
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p])
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
1. Знайти дійсну і уявну частини комплексного числа.
2. Знайти модуль і головне значення аргументу () комплексного числа.
3. Знайти всі значення коренів і побудувати їх на комплексній площині.
4. Зобразити безліч точок комплексної площині, що задовольняють заданим неравенствам. .
5. Уявити в алгебраїчній формі значення функції комплексної змінної (головне значення аргументу знаходиться в проміжку (-p; p]).
6. Довести тотожність.
Індивідуальні завдання за темою «Багаточлени»
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 2 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 3 для багаточлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня -1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 2 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня -1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 2 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня -1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 3 для багаточлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня -1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 2 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня -1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня -1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 1 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.
1. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.
2. Користуючись схемою Горнера, розкласти на найпростіші дроби вирази.
3. Чому дорівнює показник кратності кореня 2 для многочлена?
4. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.
5. Знайти корені рівняння.