«Навколишній нас світ - це світ геометрії, чистої, щирої,
бездоганною в наших очах. Все навколо - геометрія ».
Вийшло так, що вивчення праць великого татарського ученого-етнограф а. літератора і просвітителя XIX століття Каюма Насиров на уроках татарської літератури співпали за часом з вивченням теми «Подібність трикутника» на уроках геометрії.
Через деякий час ми дізналися, як, за переказами, Фалес виміряв висоту єгипетської піраміди. І задалися питанням скількома ж способами можна виміряти висоту недоступного об'єкта? Виявляється, існує безліч різних способів виробляти подібні вимірювання. У нашій роботі ми розповімо про деякі з них. Багато відомостей ми взяли з Інтернету, так гортаючи сторінки сайту татарстанських скаутів, дізналися дуже цікавий «метод олівця».
Зацікавившись цим, ми почали досліджувати способи практичних застосувань, де використовуються властивості теореми про подібні трикутники. Рішення задач на вимір ширини річки, висоти предмета і визначення відстані до недоступної точки, дозволили побачити масштаб застосування геометрії в житті людини.
Обрана нами тема актуальна тим, що з'являється можливість без будь-яких складних технічних пристроїв виміряти відстань до недоступних точок. Наприклад, виміряти висоту стовпа, піраміди, дзвіниці, дерева, ширину річки, озера, яру, довжину острова, глибину ставка і т.д.
Мета нашої дослідницької роботи полягає в застосування знань тем: "Пропорція", "Рівнобедрений трикутник", "Прямокутний трикутник", "Подоба трикутника» при вимірюванні висоти сільської мечеті з різними способами, без застосування спеціальних приладів.
Частина I. Основна теоретична частина.
- Висота піраміди за способом Фалеса
За переказами, Фалес виміряв висоту єгипетської піраміди (імовірно піраміди Хеопса), застосувавши геометричну теорему, що носить його ім'я, - теорему Фалеса. Діло було так. Фараон привіз Фалеса до пірамід і, бажаючи випробувати його, запропонував виміряти їх висоту. Вчений прийняв виклик. Він встромив в землю палицю, дочекався, коли довжина тіні від палиці стала рівною її висоті, і повелів виміряти тінь від піраміди, заявивши, що висота тіні в цей момент дорівнює висоті самої піраміди. Найлегший і найдавніший спосіб - без сумніву, той, яким грецький мудрець Фалес за шість століть до нашої ери визначив у Єгипті висоту піраміди. Він скористався його тінню. Фалес, говорить переказ, обрав день і годину, коли довжина власної його тіні дорівнювала його росту. У цей момент висота піраміди повинна дорівнювати довжині відкидаємо її тіні. Це, мабуть, єдиний випадок, коли людина отримує користь зі своєї тіні.
Цим простим способом дуже зручно скористатися. Але в наших широтах не так легко, як в Єгипті, підстерегти потрібний для цього момент. Сонце у нас низько стоїть над горизонтом, і тіні бувають, рівні висоті відкидають предметів лише в околополуденние годинник літніх місяців.
- Вимірювання висоти майданчики Обрій за способом Жюля Верна.
Цей спосіб описаний в книзі у Жюля Верна в відомому романі «Таємничий острів». Там інженер і Герберт вимірюють висоту майданчики далекого виду. «... Він взяв жердину довжиною 12 футів. Не доходячи футів 500 до гранітної стіни, встромив жердину в пісок на 2 фути вертикально. Потім він відійшов від жердини на таку відстань, щоб лежачи на піску, можна було на одній прямій лінії бачити і кінець жердини, і край гребеня. Цю точку він ретельно зазначив кілочком. Обидва відстані були виміряні. Відстань від кілочка до палиці дорівнювало 15 футів, а від палиці до скелі 485 футів. Після закінчення вимірів склали наступний запис ... »
Тут потрібен жердина, який доведеться увіткнути в землю прямовисно так, щоб виступаюча частина якраз рівняти зростання людини. Місце для жердини треба вибирати так, щоб лежачи, було видно верхівку дерева на одній прямій лінії з верхньою точкою жердини. Отримаємо два прямокутних трикутника. Катетами першого буде жердину і відстань від жердини до голови людини лежачого на землі. Катетами другого трикутника будуть: відстань від голови людини до дерева і та висота дерева, яку нам потрібно визначити. Ми можемо визначити відстань від голови до жердини і від голови до дерева, так само нам відома висота жердини, отже, ми можемо скласти пропорцію і знайти шукану висоту.
- Визначення висоти мінарету описаний в книзі К. Насиров "Істийляхәт гийльме һәндәсе" ( "Терміни по геометрії").
«... Янина барип үлчәргә мөмкін бер гиймарәтнең (бінаниң) яки бер тауниң яки бер манараниң біеклеген белмәк өчен Ансат бер исули бардир. Мәсәлән, мәчет манарасиниң біеклеге нічә аршин яки нічә колач ікәнлеген белү өчен мәчет нігезеннән Беразі арирак В ноктасинда бер Казик утиртила. Казик башиниң Е ноктасинда мәчет манарасиниң ің Югари М нокасина юнәлгән візир беркетелә. Візірниң ікенче ягина чигип, візир сизиги юнәлеше буенча җір өстендә З ноктасин білгелібез. Ике охшаш АСМ һәм ВСЕ өчпочмаклари барликка Килда. АС һәм ВС арасин. ВЕ казиги озинлигин үлчәгәч, езләнелә Торган Манара біеклеген - АМ ни пропорція төзеп табарга була. »
- Спосіб прямокутного рівнобедреного трикутника.
Є до смішного прості, хоча й не дуже точні способи вимірювання важкодоступній висоти. Ми не робимо ніякого відкриття, просто хочемо пояснити малюнок з книги А.Маркуші, яка називається «Чоловікам до 16 років». Ця чудова книга містить поради для хлопчиків, які обов'язково стануть справжніми чоловіками, якщо у них в руках виявиться ця книга. Для того, щоб метод вимірювання став більш зрозумілий, пояснюємо. Беремо квадратний аркуш картону, фанерки, паперу і т.д. Проводимо лінію по діагоналі. Докладаємо лист до ока і, тримаючи паралельно поверхні землі нижній край квадрата, відходимо від дерева до тих пір, поки прицілюючись поглядом, не сумісний вершину дерева з діагоналлю. Тепер залишилося порахувати кроками або рулеткою відстань до дерева - L. До цього треба додати відстань від землі до вашого очі (нижній край квадрата) h. Так ми дізнаємося висоту дерева, тобто L + h = H, де H висота дерева.
- «Метод олівця». Спосіб, який використовують скаути. (З Інтернет-сайту татарстанських скаутів).
Встати від об'єкта на таку відстань, щоб бачити його цілком - від основи до верху. У підстави встановити помічника. Витягнути перед собою руку з олівцем (або ручка, або будь-яка паличка), затиснутим в кулаці. Примружити одне око і підвести кінчик грифеля до вершини об'єкта. Тепер перемістити ніготь ь пальця так, щоб він опинився під підставою. Повернути кулак на 90 градусів, щоб олівець виявився розташований паралельно до землі. При цьому ніготь повинен все так же залишатися в точці підстави. Клікнути помічникові, щоб відійшов від дерева. Коли він досягне точки, на яку вказує вістрі олівця, подати сигнал, щоб зупинився. Виміряти відстань від об'єкта до місця, де застиг помічник - це і є висота об'єкта.
Для визначення висоти предмета можна використовувати дзеркало, розташоване на землі горизонтально. Промінь світла, відбиваючись від дзеркала, потрапляє в око людини. Використовуючи подобу трикутників можна знайти висоту предмета, знаючи зріст людини (до очей), відстань від очей до верхівки людини і вимірюючи відстань від людини до дзеркала, відстань від дзеркала до предмета (враховуючи, що кут падіння променя дорівнює куту відбиття).
Виходячи з вищевикладеного, можна сказати, визначення висоти предмета - це є вимірювання із застосуванням геометричних методів, пов'язаних з подібністю трикутників.
Виміряти відрізок - значить, порівняти з одиничним відрізком, або відрізком, що має відому довжину. У подібних фігур відповідні розміри при розподілі дають одне і те ж число.
Геометрична постановка завдання в нашій роботі: визначити довжину відрізка АВ, де А - підстава мечеті, В вершина мінарету.
Робоча формула. H = h * L / l, де
Н - висота мечеті; h - висота відомого об'єкта; L і l - величини, пов'язані з мечеттю і об'єктом, їх зміст буде пояснений в кожному експерименті.
1) Для вимірювання висоти мечеті за допомогою жердини необхідно попередньо точно виміряти висоту жердини, зростання виробляє вимірювання до рівня очей. Встромили в землю під прямим кутом жердину, який вищий за наш зростання на відстані від мечеті. Потім відійшли від жердини тому не побачили найвищу точку мечеті на одній лінії з верхньою точкою жердини. Далі відміряли відстань до мечеті і до жердини. Висота мечеті також обчислюється з пропорції подібних трикутників.
Робоча формула: H = h * L / l + зростання виробляє вимірювання до рівня очей, де
Н висота мечеті до рівня очей; h - висоту жердини; L - відстань від людини до мечеті і l -
Зростання до рівня очей, м
Відстань від людини до мечеті, м
Відстань від людини до жердини
Висота мечеті, м
2) Другий принцип вимірювання наступний: жердину встромили в землю на деякій відстані від мечеті перпендикулярно землі. По черзі лягли на землю таким чином, щоб бачити жердину і мечеть «один за одним», причому верхівка жердини збігається з верхівкою мечеті. Відзначивши місце над головою, виміряли відстань від жердини до мечеті і до мітки. Довжина жердини відома. Знаючи виміряні відстані, знайшли висоту мечеті.
Робоча формула: H = h * L / l + зростання виробляє вимірювання до рівня очей, де
Н висота мечеті до рівня очей; h - висоту жердини; L - відстань від людини до мечеті і l -
Відстань від голови людини до мечеті, м
Відстань від голови людини до жердини
Висота мечеті, м
- За допомогою рівнобедреного прямокутного трикутника.
Використовували прямокутний трикутник, зроблений з квадратного аркуша пінопласту. Тримаючи трикутник вертикально, відійшли від дерева на таку відстань, при якому дивлячись вздовж гіпотенузи, побачили верхівку мечеті. Висота мечеті від рівня очей до верхівки дорівнює відстані від мечеті до людини. Виміряли відстань від місця вимірювання до мечеті, додали до отриманого своє зростання.
Робоча формула: H = h * L / l + зростання виробляє вимірювання до рівня очей, де
h і l - висоти прямокутного рівнобедреного трикутника, так як вони рівні, то Н висота мечеті до рівня очей = L - відстані від людини до мечеті
Зростання до рівня очей, м
Довжина катетів трикутника, см
Віддалі від людини до мечеті, м
Висота мечеті до рівня очей, м
Встали від мечеті на відстань, щоб бачити його цілком - від основи до верху. У підстави встановили помічника. Витягли перед собою руку ручка, затиснутим в кулаці. Примруживши одне око, підвели кінчик ручки до вершини об'єкта. Тепер перемістили ніготь великого пальця так, щоб він опинився під підставою. Повернули кулак на 90 градусів, щоб ручка виявилася паралельно до землі. При цьому ніготь залишили в точці підстави. Кликнули помічникові, щоб відійшов від дерева. Коли він досяг точки, на яку вказує вістря ручки, подали сигнал, щоб зупинився. Виміряли відстань від мечеті до місця, де застиг помічник - це висота мечеті.
Робоча формула: H = h * L / l, де
h і l- відстань від вістря ручки до нігтя, так як вони рівні, то Н висота мечеті = L - відстані від людини до мечеті.
У підстави мечеті встановили товариша. Сфотографували, переконавшись, що фотоапарат встановлений у вертикальній поверхні. Висота мечеті в стільки разів більше висоти людини, у скільки разів довжина зображення мечеті на фотографії більше довжини зображення людини.
Робоча формула: H = h * L / l, де
Н - висота мечеті; h - довжина зображення мечеті; L - висота людини і l - довжина зображення людини.
Довжина зображення людини. см
Довжина зображення мечеті, см
Висота мечеті, м
Ми розглянули кілька способів визначення висоти мечеті за допомогою підручних засобів без спеціальних приладів та інструментів. Всі ці способи засновані або на визначення довжини відрізка і вимірювання, або на властивості подібних фігур.
За допомогою жердини
За допомогою жердини
За допомогою рівнобедреного прямокутного трикутника.
З допомогу олівця
За допомогою фотоапарата
Експерименти проводилися в несприятливих умовах: нерівна і незручна місцевість, багато снігу, мороз, відсутність досвіду і вправності. Результати різних експериментів відрізнялися. Можемо припустити, що висота мечеті близько 18 метрів. Найзручнішим способом вважаємо «метод олівця». Він вимагає всього один вимір. За допомогою фотоапарата досвід не вдався.
Практичні роботи збагатили нас новими знаннями з геометрії, розвинули інтерес до його вивчення, розширили знання з географії, літературі. Знання, отримані при виконанні дослідницької роботи, залишаться в нашій пам'яті надовго, розвиваючи навички науково-дослідницької роботи. Подальші наші завдання продовжити цю тему, розглядаючи завдання: вимір ширини річки, озера, яру, знаходження нижньої висоти хмар.
3. За допомогою рівнобедреного прямокутного трикутника.
4. «Метод олівця»
- За допомогою фотоапарата
"Портрет". Н.В. Гоголь