Звичайно тут є якісь властивості подільності, але не будемо надто креатівнимм, а тупо перевіримо методом математичної індукції.
Спочатку вираз перепишемо в зручному вигляді (2 * k) ^ 3 + 20 * (2 * k) = 8 * k ^ 3 + 40 * k
Підстава індукції: при k = 1 | 8 + 40 ділиться 48
8 * k ^ 3 + 40 * k ділиться 48
Розглянемо останню суму. Перший доданок ділиться на 48 по індуктивному припущенню. Другий доданок ділиться на 48, тому що 24 * (k ^ 2 + k) = 24 * k * (k + 1) = 48 * m (серед двох послідовних k, k + 1 - одне парне).
Третє складова 48 тим більше ділиться на 48. В результаті вся сума ділиться на 48
Число (2 * k) ^ 3 + 20 * (2 * k) ділиться на 48 при будь-якому натуральному k
Отже, n ^ 3 + 20 * n ділиться на 48 при будь-якому парному n
Вичерпну відповідь вже представлений користувачем Анатолій-тдр5, але я хотіла б запропонувати і свій варіант.
Для початку представимо число 48 в наступному вигляді: 48 = 16 * 3. Тобто, для того, щоб число ділилося на 48, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 16 і на 3.
Тепер перейдемо до числа, зазначеного в умови. З огляду на, що m парне, його можна записати у вигляді
(2n) ^ 3 + 20 * 2n = 8n ^ 3 + 40n = 8n * (n ^ 2 + 5), де n - будь-яке ціле невід'ємне число.
Очевидно, що воно буде кратним 8, тому залишається довести, що n * (n ^ 2 + 5) ділиться на 2 (16/8) і на 3.
Якщо n - парне, то і твір n * (n ^ 2 + 5) також буде парним, тобто кратним 2.
При n непарному співмножник (n ^ 2 + 5) буде парних, оскільки сума двох непарн. чисел є парне. числом, а значить, і в цьому випадку твір ділиться на 2.
Залишилося довести, що n * (n ^ 2 + 5) також ділиться і на 3.
При n, кратному 3, даний твір очевидно теж буде ділитися на 3.
Якщо ж n не ділиться на 3, то його можна представити у вигляді (р + 1) або (р + 2), де р - будь-яке число, кратне трьом.
При n = (р + 1) твір набуде вигляду
(Р + 1) * ((р + 1) ^ 2 + 5) = (р + 1) * (р ^ 2 + 2р + 6).
Другий співмножник буде ділитися на 3, оскільки являє собою суму, кожний доданок якої кратно трьом. Стало бути, і сам твір теж буде ділитися на три.
При При n = (р + 2) твір набуде вигляду
(Р + 2) * ((р + 2) ^ 2 + 5) = (р + 2) * (р ^ 2 + 2р + 9).
І тут другий співмножник буде ділитися на 3, оскільки також є сумою, кожний доданок якої кратно трьом. А значить, і сам твір теж буде ділитися на три.
Таким чином, твердження, позначене в питанні, доведено.
Довести просто. Потрібно згадати ознаки парних чисел. Потрібно згадати ознаки подільності чисел. Потрібно перетворити вказану суму двох чисел в добуток двох чисел, один із співмножників якого можна розділити на вісім, а другий співмножник можна розділити на шість, або на два і три. Якщо довести, що другий співмножник при будь-якому значенні n відповідає цій умові, то число буде ділитися і на сорок вісім. На питання "Як довести." Цієї відповіді досить.