Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурного і функціонального досконалості цілого і його частин в мистецтві, науці, техніці і природі.
І тому метою моєї роботи стало своєрідне дослідження несподіваних сторін звичного для нас шкільного предмета.
Геометрія (від грец. Γη - Земля і μετρέω - «міряю») - розділ математики, що вивчає просторові структури, відносини та їх узагальнення.
Традиційно вважається, що родоначальниками геометрії як систематичної науки є стародавні греки, що перейняли у єгиптян ремесло землемерия і вимірювання обсягів тіл, і перетворили його в строгу наукову дисципліну. При цьому античні геометри від набору рецептів перейшли до встановлення загальних закономірностей, склали перші систематичні і доказові праці з геометрії.
У третьому столітті до н. е. давньогрецький вчений Евклід написав науковий твір під назвою «Начала», що містить основи античної математики: елементарної геометрії, теорії чисел, алгебри, загальної теорії відносин і методу визначення площ і обсягів, що включав елементи теорії меж.
Почала складаються з тринадцяти книг. Перша і деякі інші книги передує списком визначень. Першій книзі поданий також список постулатів і аксіом. Як правило, постулати задають базові побудови (напр. «Потрібно, щоб через будь-які дві точки можна було провести пряму»), а аксіоми - загальні правила виведення при оперуванні з величинами (напр. «Якщо дві величини рівні третьої, вони рівні між собою» ).
• У I книзі вивчаються властивості трикутників і паралелограмів; цю книгу вінчає знаменита теорема Піфагора для прямокутних трикутників.
• Книга II, висхідна до піфагорійцям, присвячена так званої «геометричній алгебрі».
• У III і IV книгах викладається геометрія кіл, а також вписаних і описаних багатокутників; при роботі над цими книгами Евклід міг скористатися творами Гіппократа Хиосськом.
• У V книзі вводиться загальна теорія пропорцій, побудована Евдоксом Кнідським.
• А в VI книзі вона додається до теорії подібних фігур.
• VII-IX книги присвячені теорії чисел і сягають піфагорійцям.
• XI книга містить основи стереометрії.
• XIII книга присвячена побудові п'яти правильних багатогранників; вважається, що частина побудов була розроблена Теетет Афінським.
Евклід підвів в цьому творі підсумок трьохсотрічної розвитку грецької математики і створив міцний фундамент для подальших математичних досліджень. «Начала» Евкліда не є, однак, енциклопедією математичних знань своєї епохи. Так, в «Засадах" не викладається теорія конічних перетинів, яка була тоді досить розвинена, відсутні тут і обчислювальні методи.
Не дивлячись на це, продумане і глибоко логічний виклад геометрії, дане в книзі Евкліда, призвело до того, що математики не мислили можливості існування геометрії, відмінної від евклідової.
Лише в IXX в. завдяки, в першу чергу, працям видатного російського математика Н. І. Лобачевського, було встановлено, що евклідова геометрія не є єдино можливою.
До середини XIX століття геометрія розділилася на безліч погано узгоджених розділів: евклидова, сферична, гіперболічна, проективна, афінна, ріманова, багатовимірна, комплексна і т. Д.
Відповідно до цієї класифікації, в класичній геометрії можна виділити наступні основні розділи:
Розглянемо більш докладно один з розділів геометрії - стереометрія.
Стереометрія (від ін. Грец. Στερεός, «стереос» - «твердий, просторовий» і μετρέω - «вимірюю») - це розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур в просторі.
Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина. Поряд з цими найпростішими фігурами розглядаються геометричні тіла і їх поверхні. Подання про геометричні тілах дає нам навколишні нас предмети. Так, наприклад, кристали мають форму геометричних тіл, поверхні яких складені з багатокутників.
Багатогранники. Історія відкриття правильних багатогранників.
Існує п'ять правильних багатогранників:
Правильні багатогранники відомі з найдавніших часів. Їх орнаментні моделі можна знайти на різьблених кам'яних кулях, створених в період пізнього неоліту, в Шотландії, як мінімум за 1000 років до Платона. У кістках, якими люди грали на зорі цивілізації, вже вгадуються форми правильних багатогранників.
Правильні багатогранники характерні для філософії
Платона, в честь якого вони і отримали назву «Платонова тіла». Платон писав про них в своєму трактаті Тімей (360г до н. Е.), Де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певного правильному багатограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедр, а вогонь - тетраедр.
Для виникнення даних асоціацій були наступні причини:
• жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри);
• повітря складається з октаедрів: його найдрібніші компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути;
• вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр);
• на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води.
З приводу п'ятого елемента, додекаедра, Платон зробив непевний зауваження: «його бог визначив для Всесвіту й удався до нього в якості зразка». Аристотель додав п'ятий елемент - ефір і постулював, що небеса зроблені з цього елемента, але він не зіставляв його платоновскому п'ятого елементу.
Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями світобудови протягом багатьох століть. Цілком можливо порівняти їх з відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним і плазмовим.
Евклід дав повне математичний опис правильних багатогранників в останній, XIII книзі «Початки».
Для того щоб дати визначення поняттю «правильний багатогранник» потрібно знати що таке «багатокутник» і «багатогранник».
Багатокутником називається геометрична фігура, що складається з n (n більше або дорівнює 3) точок площини, які не лежать на одній прямій і попарно з'єднаних що не перетинаються відрізками.
Багатогранник - поверхня, складена з багатокутників, а також тіло обмежене такою поверхнею.
Правильний багатогранник - це опуклий багатогранник з максимально можливою симетрією.
Придумувати правильний куб, тетраедр, октаедр, ікосаедр, додекаедр було не важко, тим більше що ці форми мають природні кристали. Наприклад: куб - монокристал кухонної солі, октаедр - монокристал алюмокалієвих квасцов. Існує припущення, що форму додекаедра стародавні греки отримали, розглядаючи кристали піриту (сірчистого колчедану). Маючи ж додекаедр, неважко побудувати і ікосаедр: його вершинами будуть центри дванадцяти граней додекаедра.
Багатогранник називається правильним, якщо:
2. Всі його грані є рівними правильними багатокутниками;
3. У кожній його вершині сходиться однакове число ребер.
Правильний багатогранник може бути комбинаторно описаний символом Шлефлі, де: p - число сторін кожної грані; q - число ребер, що сходяться в кожній вершині.Символи Шлефлі для правильних багатогранників наведені в наступній таблиці:
Багатогранник Вершини Ребра Грані Символ Шлефлі тетраедр 4 6 4
додекаедр 20 30 12
ікосаедр 12 30 20
Леонардо Пізанський (лат. Leonardo Pisano, близько 1170, Піза - близько 1250, там же) - перший великий математик середньовічної Європи. Найбільш відомий під прізвиськом Фібоначчі (Fibonacci); про походження цього псевдоніма є різні версії. За однією з них, його батько Гільєрмо мав прізвисько Боначчі ( «Добромисний»), а сам Леонардо називався filius Bonacci ( «син Добромисного»). За іншою версією, Fibonacci походить від фрази Figlio Buono Nato Ci, що в перекладі з італійської означає «хороший син народився».
Леонардо вів досить аскетичний спосіб життя, монашествовал і часто медитував. Володіючи вродженою спостережливістю, він, гуляючи по лісі, звернув увагу на те, що в рослинах і квітах проявляється зв'язок з числами. Зокрема він зауважив, що коли паросток Ахілла пробивається з-під землі, у нього виростає один маленький листочок, потім на стеблі з'являється ще один, далі - два, а потім число листя наростає відповідно встановленої Леонардо закономірністю: кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх , т. е. виходить ряд: 1,1,2,3,5,8,13. названий «поруч Фібоначчі». Таку ж закономірність він отримав, контролюючи кількість пелюсток у різних квіток.
Так, лілії та іриси мають по три пелюстки; жовтець - п'ять пелюсток; деякі дельфиниуми - вісім пелюсток; златоцвет - тринадцять, у деяких айстр їх двадцять один, а у маргариток майже завжди тридцять чотири, п'ятдесят п'ять або вісімдесят дев'ять пелюсток.
У 1202 р вийшов у світ його математична праця «Книга про абаці» (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила «Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:
Місяці 0 1 2 3 4 5
Тетраедр 3 3 4 6 4
Гексаедр або Куб 4 3 8 12 6
Октаедр 3 4 6 12 8
Додекаедр 5 3 20 30 12
Ікосаедр 3 5 12 30 20
(Леонардо да Вінчі, 1452-1519)
(Евклід, ок. 300 р. До н.е..)
(Леонардо Пізанський, Фібоначчі, близько 1170 г.)
(Золота пропорція людини, 1509 р Леонардо да Вінчі)