Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Функція є багатозначною, що випливає з способу введення полярних координат, а саме аргумент числа визначається з точністю до доданка, кратного.
При переміщенні будь-якої точки по довільній безперервної кривої аргумент числа безперервно змінюється. При цьому, якщо крива замкнута, то можливі два випадки. В одному випадку точка після обходу повертається у вихідне положення з колишнім значенням аргументу. Так буде для будь-якої кривої, що не здійснює обходу навколо початку координат. В іншому випадку аргумент змінюється на величину або в залежності від напрямку обходу, а при n-кратному обході - на або. Це має місце в разі, коли точка при переміщенні обходить початок координат.
Аргумент як функція точки буде однозначною функцією в області, яка не містить кривих, що здійснюють обхід точки. В якості такої області можна взяти площину з розрізом з будь-якого променю, що виходить з початку координат. Зокрема, з розрізом по дійсній негативною полуоси - область. Можна вибрати розріз по дійсній позитивної півосі - область. де головне значення аргументу визначається рівністю. Зауважимо, що аргументи числа, геометрично відповідного однієї і тієї ж точки областей і. можуть бути різні. Наприклад, в області. а в області (рис. 3.4).
Межами кожної з областей і є два "берега" відповідної півосі, обхід кордонів на малюнках вказано стрілками.
Приклад 6. Дослідити можливість виділення однозначних гілок неоднозначною, функції.
Рішення. Функція являетсянеоднозначной як зворотна до неоднолістной функції. Її неоднозначність (двозначність) пов'язана з неоднозначністю аргументу функції. Для кожного значення отримуємо два значення аргументу: і. Так як і. то.
У комплексній площині з розрізом по променю [0; + (можливе виділення однозначних гілок аргументу. Можна розглянути дві функції: і. Перша з них переводить область площину з розрізом в область. Де (Рис. 3.5), так як для маємо нерівність.
Позитивний обхід кордонів вказано стрілками. У точках кордону області однозначність порушується, але в силу зробленого розрізу дійсні позитивні значення (z = x, x> 0) розглядаються двічі на верхньому «березі» і на нижньому «березі». Наприклад, при z = 1 це точка верхнього «берега» і точка нижнього «берега». При відображенні точкам верхнього «берега» відповідають позитивні значення (точка. А точкам нижнього «берега» негативні значення (точка).
Граничним точкам верхнього «берега» відповідають негативні значення функції (точка. А точкам нижнього «берега» позитивні значення (точка).
З наведених міркувань сформулюємо наступне твердження.
Двозначна функція відображає площину з розрізом по дійсній позитивної півосі (область) на верхню півплощини (область) і нижню (область). В області можливе виділення однозначних гілок - двох однозначних функцій, одна з яких відображає на. інша - на. Однозначне відображення всій площині неможливо.
Зауваження. Проведення розрізу в площині дозволило отримати однозначні функції, з якими можна робити звичайні операції
Якщо в площині точка описує просту замкнену криву, обходячи початок координат, то в площині їй буде відповідати крива, яка здійснює двічі обхід навколо.
Крапка . при обході навколо якої по замкнутій кривій точка переходить з одного аркуша на інший, називається точкою розгалуження. Також точкою розгалуження є точка.
Аналогічно можна досліджувати n-листная функцію і зворотну до неї.
Число називається границею функції в точці. якщо для будь-якого числа знайдеться число таке, що для всіх чисел. задовольняють нерівності. виконується нерівність
Геометрично це означає, що для точок з проколеної # 948; -окрестності точки відповідні значення функції належать # 949; -окрестності точки.
Нагадаємо, що околиця точки на комплексній площині - це коло з центром в цій точці. Так, чи є коло радіуса з центром в точці. а проколота околиця точки або. або - коло радіуса з центром в точці за винятком точки.
Якщо записати числа в алгебраїчній формі, то неважко довести справедливість наступного твердження.
Утвержденіе.1 (необхідна і достатня умова існування границі функції комплексної змінної).
Для того щоб в точці існував межа функції. необхідно і достатньо, щоб в точці існували межі двох функцій дійсних змінних. де; при цьому має місце рівність
Зауваження: 1. З сформульованого критерію слід, що в комплексній області мають місце правила і властивості меж такі ж, як і в дійсній області (за винятком, зрозуміло, властивостей, пов'язаних зі знаками нерівностей).
Наприклад, (за умови, що існують межі в правій частині рівності).
2. Можна визначити поняття границі функції в точці, розглядаючи не всю околицю цієї точки, а тільки деякий чіткий безліч точок з цієї околиці - граничний перехід по безлічі:
Тут точки належать перетинанню безлічі і проколеної околиці точки. Зокрема, це має місце, якщо - безліч точок кривої, або - замкнутий безліч. Так, на рис. 3.7, а безліч - крива лінія. Функція визначена на і - дута. за винятком точки. На рис. 3.7, б безліч - безліч. функція визначена в області (або), - заштрихована частина області.