Другий спосіб (за допомогою власних значень матриці Гессе) - студопедія

Матриця G (х) розмірністю (n xn) вважається позитивно певної, якщо всі її власні значення m1. m2, ..., mn позитивні, тобто mj> 0 для всіх j = 1, 2, ..., n.







Матриця G (х) вважається негативно певної, якщо власні значення негативні, тобто mj <0 для всех j = 1, 2,…, n .

Якщо серед власних значень G зустрічаються і позитивні і негативні, то матриця є знакозмінною, а досліджувана функція - неопуклого.

Для визначення власних значень необхідно вирішити характеристичне рівняння:

де I - квадратна одинична матриця; det - знак визначника.

Матриця відрізняється від матриці Гессе тим, що по діагоналі розташовуються члени виду.

Так для двомірної функції f (x1, x2) характеристичне рівняння буде мати вигляд:

Собствеение значення m1 і m2 є коріння звичайного квадратного рівняння m 2 + b m + c = 0, утворюються після розкриття визначника.

Для прикладу візьмемо функції двох змінних:

Координати екстремальної точки x * визначаються рішенням системи рівнянь

Гессіан. Після рішення характеристичного рівняння. тобто квадратного рівняння (2 - m) 2 - 1 = 0 отримані власні значення m1 = 3, m2 = 1, тобто матриця G є позитивно визначеною. Отже, функція f (x) є опуклою і в екстремальній точці х * = (2,2) приймає мінімальне значення f (x *) = -2.







Обидва способи перевірки достатніх і необхідних умов екстремуму другого порядку наведені в табл.4.2.

Приклад 4.4. Знайти екстремум функції на безлічі Е 2.

Рішення. 1. Запишемо необхідні умови екстремуму першого порядку:

В результаті рішення системи отримуємо стаціонарну точку x * = (0,0).

2. Перевіримо виконання достатніх умов екстремуму.

Перший спосіб: Матриця Гессе має вигляд .Так як М1 = 2> 0,. то в точці x * локальний мінімум (рядок 1 в табл.4.2).

Другий спосіб: Знайдемо власні значення матриці Гессе, використовуючи (4.10):

Звідси і. Так як всі власні значення позитивні, то в точці x * локальний мінімум (рядок 1 в табл. 4.2). З прикладу 3.3 слід, що функція є строго опуклою на безлічі Е 2. Тому точка локального мінімуму є і точкою глобального мінімуму (відповідно до п.3, твердження 3.1).

3. Обчислимо значення функції в точці глобального мінімуму: f (x *) = 0.

Приклад 4.5. Знайти екстремум функції на безлічі Е 2.

Рішення. 1. Запишемо необхідні умови першого порядку:

В результаті рішення системи отримуємо стаціонарну точку x * = (0,0).

2. Перевіримо виконання достатніх умов екстремуму і необхідних умов другого порядку.

Перший спосіб: Матриця Гессе має вигляд. Так як М1 = 2> 0,. то достаточниое умови екстремуму не виконуються (рядки 1 і 2 в табл.4.2). Перевіримо виконання необхідних умов другого порядку.

Головні мінори першого порядку (m = 1) виходять з M2 в результаті викреслювання n - m = 2 - 1 = 1 рядків і стовпців, з однаковими номерами: - 2, 2. Головний мінор другого порядку (m = 2) виходить з M2 в внаслідок викреслювання n - m = 0 рядків і стовпців, тобто збігається з M2. -4. Звідси випливає, що необхідні умови екстремуму другого порядку не виконуються (рядки 3 і 4 в табл.4.2). Так як матриця Гессе не є нульовою, то можна зробити висновок про те, що в точці х * немає екстремуму (рядок 6 в табл.2.1).

Критерій перевірки достатніх і необхідних умов другого порядку в задачі пошуку безумовного екстремуму







Схожі статті