Через гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника проведена площину P під кутом α до площини трикутника. Визначити периметр і площу фігури, яка вийде, якщо спроектувати трикутник на площину P. Гіпотенуза трикутника дорівнює с.
За умовою похилі АС і CB (рис.) Рівні.
Значить, рівні їх проекції: AD = DB. Кут DEC (E - середина АВ) є лінійний кут двогранного кута α.
Так як трикутник АСВ прямокутний при вершині С, то РЄ = АЕ = c / 2. Отже, ED = c / 2 cos α. нарешті,
AD = BD = √ АЕ 2 + ЕD 2 = c / 2 √ 1 + cos 2 α
В основі піраміди лежить прямокутник. Одна з бічних граней має вигляд рівнобедреного трикутника і перпендикулярна до основи; в іншу грань, протилежної першої, бічні ребра, рівні b. утворюють між собою кут 2α і нахилені до першої межі під кутом α. Визначити обсяг піраміди і кут між зазначеними двома гранями. Дивитися рішення →
У паралелепіпеді довжини трьох ребер, що виходять із загальної вершини, дорівнюють відповідно а, b і с. Ребра а й b взаємно перпендикулярні, а ребро з утворює з кожним з них кут α. Визначити обсяг паралелепіпеда, бічну поверхню його і кут між ребром з і площиною основи. (При яких значеннях кута α завдання можлива?) Дивитися рішення →
В основі піраміди лежить трапеція, у якої діагональ перпендикулярна до бічної сторони і утворює з основою кут α. Всі бічні ребра рівні між собою. Бічна грань, що проходить через більшу підставу трапеції, має кут при вершині піраміди φ = 2α і площа, що дорівнює S. Визначити обсяг піраміди і кути, під якими нахилені бічні грані до площини основи. Дивитися рішення →