Цей закон, званий законом всесвітнього тяжіння, в математичній формі записується в такий спосіб:
де m1 і m2 - маси тіл, R - відстань між ними (див. рис. 11а), а G - гравітаційна стала, рівна 6,67.10-11 Н.м 2 / кг 2.
Закон всесвітнього тяжіння був вперше сформульований І. Ньютоном, коли він намагався пояснити один із законів І. Кеплера, який стверджує, що для всіх планет відношення куба їх відстані R до Сонця до квадрату періоду T обертання навколо нього однаково, тобто
Виведемо закон всесвітнього тяжіння так, як зробив це Ньютон, вважаючи, що планети рухаються по колах. Тоді за другим законом Ньютона на планету масою mПл, що рухається по колу радіуса R зі швидкістю v і доцентрові прискоренням v2 / R повинна діяти сила F, спрямована до Сонця (див. Рис. 11б) і рівна:
Швидкість v планети можна виразити через радіус R орбіти і період обертання T:
Підставляючи (11.4) в (11.3) отримуємо такий вираз для F:
Із закону Кеплера (11.2) випливає, що T2 = const.R3. Отже, (11.5) можна перетворити в:
Таким чином, Сонце притягує планету з силою прямо пропорційною масі планети і обернено пропорційно квадрату відстані між ними. Формула (11.6) дуже схожа на (11.1), не вистачає лише маси Сонця в чисельнику дробу праворуч. Однак якщо сила тяжіння між Сонцем і планетою залежить від маси планети, то ця сила повинна залежати також і від маси Сонця, а значить, константа в правій частині (11.6) містить масу Сонця в якості одного із співмножників. Тому Ньютон висунув свою знамениту припущення, що гравітаційна сила повинна залежати від твору мас тіл і закон став таким, яким ми його записали в (11.1).
Закон всесвітнього тяжіння і третій закон Ньютона не суперечать один одному. За формулою (11.1) сила, з якою тіло 1 притягує тіло 2, так само силі, з якою тіло 2 притягує тіло 1.
Для тел звичайних розмірів гравітаційні сили дуже малі. Так, два поруч стоять легкових автомобіля притягуються один до одного з силою, рівною вазі краплі дощу. З тих пір, як Г. Кавендіш в 1798 р визначив значення гравітаційної постійної, формула (11.1) допомогла зробити дуже багато відкриттів в «світі величезних мас і відстаней». Наприклад, знаючи величину прискорення вільного падіння (g = 9,8 м / с2) і радіус Землі (R = 6,4.106 м), можна обчислити її масу mз наступним чином. На кожне тіло масою m1 поблизу поверхні Землі (тобто на відстані R від її центру) діє гравітаційна сила її тяжіння, рівна m1g, підстановка якої в (11.1) замість F дає:
звідки отримуємо, що mз = 6.1024 кг.
Питання для повторення:
· Сформулюйте закон всесвітнього тяжіння?
· Що таке гравітаційна стала?
Мал. 11. (а) - до формулювання закону всесвітнього тяжіння; (Б) - до висновку закону всесвітнього тяжіння з закону Кеплера.
§ 12. СИЛА ВАГИ. ВЕС. НЕВАГОМІСТЬ. ПЕРША КОСМІЧНА ШВИДКІСТЬ.