Базис і розмірність векторного простору

Базис і розмірність векторного простору

Визначення. Нехай у векторному просторі \ (\ mathit \) існує набір векторів \ (e_1, e_2. E_n \) з наступними властивостями:

1. Вони лінійно незалежні,

2. Будь-який інший вектор з \ (\ mathit \) є їх лінійною комбінацією.

Тоді кажуть, що вектора \ (e_1, e_2. E_n \) утворюють базис простору \ (\ mathit \), а число \ (n \) називають розмірністю \ (\ mathit \).

Розмірність векторного простору \ (\ mathit \) позначається \ (dim \ mathit \).

В одному і тому ж векторному просторі можна ввести різні базиси.

Приклад. Нехай \ (\ mathit \) - векторний простір \ (2 \) - стовпців. Покладемо \ (e_1 = (1,0) ^ T, e_2 = (0,1) ^ T \), \ (f_1 = (1,1) ^ T, f_2 = (1, -1) ^ T \). Неважко показати, що ці вектора в кожній парі - лінійно незалежні. Будь-вектор \ (u = (\ xi _1, \ xi_2) ^ T \) можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів цих пар: \ (u = \ xi_1e_1 + \ xi_2e_2 = \ frac (\ xi_1 + \ xi_2) f_1 + \ frac (\ xi_1- \ xi_2) f_2 \).

Приклад. Нехай \ (\ mathit \) - векторний простір поліномів ступеня 2, розглянемо наступний набір функцій: \ (p_1 (x) = x, \ quad p_2 (x) = x + x ^ 2, \ quad p_3 (x) = 1 + 2x ^ 2 \). Покажемо, що ці поліноми складають базис векторного простору. Їх лінійна незалежність обговорювалася вище. Далі, покажемо, що будь-який елемент \ (f (x) = c_1 + c_2x + c_3x ^ 2 \ in \ mathit \) може бути представлений у вигляді лінійної комбінації \ (\ alpha _1p_1 (x) + \ alpha _2p_2 (x) + \ alpha _3p_3 (x) \) для відповідних \ (\ alpha _1, \ alpha _2, \ alpha _3 \). Підставляючи вирази для функцій \ (p_1 (x), p_2 (x), p_3 (x) \) і прирівнюючи коефіцієнти при різних ступенях \ (x \), отримуємо три рівняння: \ (\ alpha _3 = c_1, \ quad \ alpha _1 + \ alpha _2 = c_2, \ quad \ alpha _2 + 2 \ alpha _3 = c_3 \). Неважко перевірити, що ці рівняння мають єдине рішення \ (\ alpha _3 = c_1, \ quad \ alpha _2 = c_3-2c_1, \ alpha _1 = c_2 + 2c_1-c_3 \).

Візьмемо довільний вектор \ (u \ in \ mathit \). Тоді існує уявлення цього вектора у вигляді лінійної комбінації векторів базису, \ [u = \ sum_ ^ n \ xi_k e_k. \]

Визначення. Числа \ (\ xi_k \), \ (k = 1,2. N \), називаються координатами вектора \ (u \) в базисі \ (e_1, e_2. E_n \).

Затвердження. Координати вектора в даному базисі визначаються однозначно.

Доведіть це твердження.

Якщо \ (x = \ sum_ ^ n a_k e_k = \ sum_ ^ n b_k e_k \), то \ (\ sum_ ^ n (a_k - b_k) e_k = 0 \), а це рівність \ ((\) - базис! ) може виконуватися тільки в тому випадку, коли \ (a_k - b_k = 0 \) для всіх \ (k \)

Приклад. Нехай \ (\ mathit \) - векторний простір \ (n \) - стовпців. Покладемо \ (e_1 = (1,0,0. 0) ^ T, e_2 = (0,1,0. 0) ^ T. E_n = (0,0. 0,1) ^ T \). Тоді будь-який стовпець \ (u = (\ xi_1, \ xi_2. \ Xi_n) ^ T = \ sum_ ^ n \ xi _ke_k \), так що числа \ (\ xi _k \) представляють собою координати вектора \ (u \) в даному базисі.

Досить часто в додатках виникає задача про перевірку того, чи є даний набір векторів лінійно незалежним, чи складають вони базис в даному просторі, або завдання про виділення в даному наборі векторів такої сукупності, яка утворює базис. Всі ці завдання можна вирішити за допомогою теореми про базисному мінорі. А саме, зазвичай вектора представляються у вигляді розкладання по деякому базису, так що можна їх представити у вигляді рядків. Складемо з рядків матрицю, знайдемо її ранг і базисний мінор. Ранг в даному випадку буде дорівнює числу лінійно незалежних векторів в нашому наборі, а рядки базисного мінору відповідають потрібним лінійно незалежним векторах. Якщо ранг матриці буде дорівнює розмірності вихідного простору, то знайдені лінійно незалежні вектора становлять його базис.

1. З'ясуйте, чи є лінійно незалежними такі вектора: \ [a_1 = (2, -3,1), \ quad a_2 = (3, -1,5), \ quad a_3 = (1,3,2). \]

2. З'ясуйте, чи є лінійно незалежними такі вектора: \ [a_1 = (1,0,0,2,5), \ quad a_2 = (0,1,0,3,4), \ quad a_3 = (0, 0,1,4,7), \ quad a_4 = (2, -3,4,11,12). \]

3. Нехай дано лінійно незалежні вектора \ (v_1, v_2. V_n \). Чи є лінійно незалежними вектора \ (v_1-v_2, v_2-v_3. V_-v_n, v_n \)?

4. Знайти всі значення параметра \ (\ lambda \), при якому вектор \ (b \) є лінійною комбінацією векторів \ (a_1, a_2, a_3 \). \ [A_1 = (3,2,5), a_2 = (2,4,7), a_3 = (5,6,7), b = (1,3,5). \]

5. Нехай \ (dim \ mathit = n