Поняття асимптот вводиться для кривих, графік яких (або окремі гілки графіка) йде в нескінченність. Це може бути, коли функція не обмежена або коли вона задана на необмеженій проміжку.
Визначення. Пряма лінія називається асимптотой кривої, якщо відстань точки кривої до цієї прямої прямує до нуля при прагненні точки до нескінченності.
Приклад 1. Довести, користуючись визначенням асимптоти, що пряма є асимптотой кривої.
Рішення. За визначенням асимптоти. У нашому випадку .
Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і похилі.
Рівняння будь-якої вертикальної прямої, тобто прямий, паралельної осі, має вид.
Всі функції з нескінченними розривами (розриви другого роду) мають вертикальні асимптоти.
Приклад 2. Знайти рівняння вертикальних асимптот графіка функції.
Рішення. Бачимо, що, якщо, точніше, тобто пряма є вертикальною асимптотой, причому двосторонньої.
Якщо пряма є горизонтальною асимптотой кривої, то.
Приклад 3. Знайти горизонтальні асимптоти кривої.
Рішення. Знайдемо, тобто при і при, значить пряма - горизонтальна асимптота даної кривої.
Рівняння похилих асимптот зазвичай шукають у вигляді. За визначенням асимптоти або
Розділимо обидві частини цієї рівності на:
Для існування похилих асимптот необхідне існування меж (2) і (3). Якщо хоча б один з них не існує, то похилих асимптот немає. Межі (2) і (3) потрібно знаходити окремо при і при, так як межі можуть бути різними (функція має дві різні асимптоти).
Приклад 4. Знайти похилі асимптоти графіка функції.
Рішення. За формулою (2) знайдемо.
Тепер знайдемо. Отримуємо рівняння похилій асимптоти.
Приклад 5. Знайти асимптоти кривої.
Рішення. Вертикальних і горизонтальних асимптот немає, так як при. Шукаємо похилі:
.
Таким чином, крива асимптот немає.
Приклад 6. Знайти асимптоти кривої.
Рішення. Оскільки при і при, то прямі і є вертикальними асимптотами. Так як, то - горизонтальна асимптота. З'ясуємо питання про існування похилих асимптот:, отже, крива похилих асимптот немає (шукати не має сенсу, так як горизонтальні асимптоти вже знайдені).
Для самостійної роботи.
1. Користуючись визначенням асимптот, довести, що пряма є асимптотой кривої.
2. Знайти асимптоти наступних кривих: